Introduccion al concepto de Numero

Despues de 2 semanitas, volvemos con más matematicas. Vosotros podriais pensar que para que el blog se llama relatos de ciencia si aun no hay ni un articulo sobre fisica, quimica etc etc.

Y esque, para plantear los problemas de Fisica que tengo pensados, necesito proporcionaros una buena base matematica. Y hoy os hablare de otra cosa basica y fundamental, el concepto de numero.

Los Numeros Naturales

Empecemos por los numeros naturales. Los numeros naturales, denotados por lN ( Para los conjuntos de numeros se usa la negrita de pizarra), son {1,2,3,4,5...... }. El conjunto lN tiene algunas particularidades interesantes. La primera esque el 0 no es un numero natural. Se le llama conjunto numerable a todo aquel que es biyectivo con lN, lo que significa literalmente que se puede contar, por ejemplo, los numeros pares, los numeros impares......  Como dije en la primera entrada, es con estos numeros con los que se puede aplicar el principio de inducción. Los numeros naturales admiten dos operaciones, la suma, y el producto. Asimismo son un conjunto ordenado.

Los numeros enteros

El siguiente conjunto es el de los numeros enteros Z. Surgen de la necesidad de una solucion a ecuaciones del tipo.

X = b - a

donde b y a son dos numeros naturales y b <a. Los numeros enteros, que contienen a su vez a los naturales, son el conjunto {.... -2, -1, 0, 1, 2....}. Es un conjunto ordenado y numerable. Admiten la suma y el producto, y ademas añaden la propiedad de que toda diferencia de numeros enteros es un numero entero.

Los numeros Racionales

Los numeros racionales surgen de la necesidad de resolver ecuaciones de la forma

X * p = q

Siendo p y q numeros enteros cuales quiera. Al resolverla aparecen numeros de la forma q/p . Los conjuntos de los naturales y los enteros estan contenidos en Q. Es un conjunto numerable, que entre dos numeros siempre hay uno ( es denso ). Es un cuerpo ordenado y en el estan contenidas todas las operaciones de suma, diferencia, producto y cociente entre dos numeros enteros.

Los numeros Reales - Necesidad de Ampliar Q

La necesidad de ampliar los numeros racionales aparece cuando tenemos entre manos numeros que no se pueden representar como cociente de dos numeros. Por ejemplo, intentando resolver este problema. Imaginemos que tenemos un triangulo rectangulo entre manos, y sabemos que los dos catetos miden 1 cada uno. Entonces, por Pitagoras, la hipotenusa mide :

 H = √( 1 + 1) = √2

Obtenemos √2. Ahora vamos a ver si ese numero puede ser expresado mediante el cociente de dos numeros enteros ( es decir, si es un numero racional ). Usemos el metodo de reduccion al absurdo, que explicamos en la segunda entrada del blog.  Supongamos, para comenzar, que √2 = p/q , donde p y q son dos numeros enteros y no tienen divisores en comun ( es decir, es una fraccion irreducible ). Entonces:

  

2 = p² / q²

 2q² = p²

El resultado de la ecuacion anterior, implica que p² es un numero par, ya que es el resultado del producto de otro numero cualquiera por 2. Si p² es un numero par, entonces p también lo sera, y podra expresarse como p = 2m. Si sustituimos, tendremos:

 2q² = 4m²  -> q² = 2m²

De ser cierta esta igualdad, q² tambien seria un numero par, por lo tanto q tambien lo seria. Si p y q fueran numeros pares, podriamos dividir entre 2 arriba y abajo en p/q , y por lo tanto no seria irreducible y eso es un absurdo, porque lo primero que postulamos es que p/q seria irreducible. De esta forma √2 es un numero irracional, y el conjunto que contiene a los numeros racionales e irracionales es el de los numeros Reales, que se denota como lR. Los numeros reales admiten la suma, el producto, la diferencia y el cociente entre numeros reales, ademas de la raiz enesima y logaritmo. Contienen a todos los conjuntos andes descritos, es un cuerpo denso, ya que entre dos racionales, siempre hay un irracional y es no numerable. Asimismo, todos los numeros reales admiten represntacion como un numero decimal. El conjunto de los reales no es el ultimo, luego esta el conjunto de los numeros complejos, que contienen una parte imaginaria, pero eso en otra entrada. Os propongo dos demostraciones de propiedades simple de los numeros enteros. A ver a quien le salen.

a x 0 = 0

a x (-1) = -a

Siendo a un numero entero cualquiera

No os doy mas la chapa! Adiosete!

Derivada de una función

Hoy hablare sobre la derivada de una funcion, de la que ya comente algo en mi primera entrada del blog.

El calculo diferencial ( y integral) fue desarrollado en sus inicios por Newton y Liebnizt, simualtaneamente pero de forma separada. Como Newton usaba una notacion muy complicada la que ha perdurado hasta nosotros es la de Liebnizt. Basicamente, aqui explicare la necesidad de la derivada, no los metodos para calcularla, si no sus implicaciones mas inmediatas

Imaginemos una recta. Por ejemplo la recta de ecuacion y = x. Es decir, una recta que pasa por el origen de coordenadas y tiene este aspecto



 Imaginemos también que es ladera de una montaña y queremos calcular la pendiente en su base, el punto (0,0) por ejemplo. Para ello tomamos otro punto, por ejemplo el (1,1). La distancia horizontal entre esos dos puntos es 1, al igual que su distancia vertical, por lo tanto:

  Pendiente = lo que sube / lo que avanza horizontalmente = (1 - 0) / (1 - 0) = 1

Era un problema trivial, ya que en la ecuacion de una recta en el plano xy, el numero que multiplica a la x ( el 1 en este caso) es la pendiente y es constante, precisamente por ser una recta.


Pero ahora avanzaremos mas. Supongamos que queremos calcular la pendiente de esta curva de la figura a la que llamaremos F(x), en el punto M. Para ello seguimos el procedimiento anterior, y escojemos un punto, P, de la curva y hallamos la pendiente del mismo modo que antes.


Como se ve en la grafica esta aproximacion a la curva por una recta que une dos puntos no es muy buena, ya que la pendiente de esa recta no va a coincidir con la de la curva en ese punto. Lo que tambien podemos observar, esque la precision aumenta cuanto mas juntos esten los puntos M y P. Llamemos a la distancia entre M y P Δx, como en la figura y llamemos f(x) a la coordenada Y de M; y f(x + Δx) a la coordenada Y de P. Si utilizamos la anterior formula de la pendiente obtenemos:

 Pendiente = lo que sube / lo que avanza horizontalmente =[ f(x+Δx) - f(x) ]/ Δx

Entonces, si llevamos esa distancia Δx cada vez a que sea un numero mas pequeño, moviendo el punto P sobre la curva hasta que esten lo mas cerca posible, es decir haciendo el limite de la pendiente cuando Δx tiende a 0, llegariamos a la seguiente expresion.

Pendiente = f ' (x) = lim    [ f(x + Δx) - f(x)] / Δx

                                Δx->0

Eso es precisamente la derivada de la función F(x) o f ' (x). La derivada se puede definir tambien como la pendiente de la recta tangente a la curva a estudio en el punto eligido, o; como en el caso actual, al ser f(x), en un punto genérico x. Gracias a la derivada, podemos evaluar cambios en las magnitudes que se producen gradualmente ( ver http://brevesrelatosdelaciencia.blogspot.com/2011/10/breve-y-amena-introduccion- al-calculo.html ). La derivada es una herramienta matématica clave y la base del cálculo infinitesimal, sin la cual la mayoria de los objetos tecnologicos de los que disponemos nunca podrian haber sido diseñados; asique le debemos mucho a Newton y a Liebnitz.

A partir de esta entrada se me ha ocurrido proponer algun ejercicio para que el que este interesado que lo realice y exponga su solucion, o pregunte cualquier duda, en un comentario o un email. Ahi va uno:

Calculese la derivada de las siguientes funciones:


- y = f(x) = x⁴ + 3x²
- y = f(x) = cosx + senx
- y = f(x) = 1/ x       para todo x distinto de 0



Saludos!

Vectores y operaciones vectoriales

Larga ausencia. Seguimos con cuestiones fundamentales sin las que me sera imposible entrar en materia mas seria. Hoy hablaremos de vectores y operaciones vectoriales basicas.

 Una forma de clasificar las magnitudes fisicas (temperatura, fuerza, masa...) es clasificandolas segun su naturaleza. Existen las magnitudes escalares, que quedan totalmente definidas con un numero (p ej. la masa ), también las magnitudes vectoriales (p ej, la fuerza), que necesitan estar definidas por un vector, y por ultimo las tensoriales (p ej, tensor de tensiones), que se definen con tensores.

 Un vector se puede definir de muchas maneras. Es una matriz de orden 1*n o n*1 donde n denota las componentes del vector. Tambien se define como un tensor de orden 1. O graficamente, como una linea con una flecha. Un vector posee una direccion, que es la recta soporte del vector; un punto de aplicacion, que es donde esta aplicado ese vector; un sentido sobre la recta y una intensidad o modulo, que es la longitud del vector y siempre es positivo.

 Un vector unitario es aquel que su modulo es uno. Un vector cualquiera se puede expresar como su direccion y sentido (vector unitario en la direccion del vector) multiplicado por su modulo. Para hallar el vector unitario de un vector es tan sencillo como dividir ese vector por su módulo.

 El modulo de un vector se halla de la siguiente manera, siendo V = (a,b,c) un vector de 3 componentes cualquieras.
       

|V| = modulo de V = √( a ² + b ² + c ²)

 Un vector que une dos puntos del espacio, se calcula haciendo extremo menos origen, es decir; si yo lo que quiero es unir lso puntos A(2,5,4) y B(4,1,-2) seria de la siguiente forma

AB = (4-2, 5-1, 4+2) = (2, 4, 6)

 Un vector en el espacio se suele expresar como la combinacion lineal de tres vectores unitarios entre si, en el sistema cartesiano se denotan como i,j,k y corresponde a las direcciones x,y,z del espacio cartesiano. Un vector de coordenadas (2,4,-1) se puede representar tambien como 2i + 4j - k.

            Operaciones con vectores


Las operaciones con vectores se parecen en algunos aspectos a las de los escalares. Antes de nada comentar que es imposible dividir un vector entre otro vector.

- Suma

La suma de un vector V=(a,b,c) con otro U(m,n,p) se hace de la siguiente manera V+U= (a + m, b + n, c + p)

- Diferencia

La diferencia de vectores se realiza analogamente a la de la suma, es decir, restando componente a componente.

- Producto de un vector por un escalar

Si queremos multiplicar un vector por un escalar lo realizariamos de la siguiente manera. Sea V=(a,b,c) un vector de 3 componentes y sea J un escalar cualquiera entonces:

J * V = J* (a, b, c) = (J*a, J*b, J*c)

La division por un escalar no es mas que el producto por una fracción, asi que se realiza del mismo modo.

- Producto escalar de dos vectores:

El producto escalar de dos vectores es una operación que convierte dos vectores en un escalar. El producto escalar se utiliza asiduamente para calcular el angulo entre dos vectores. Sean V= (a, b, c) y U ( m, n, p) dos vectores cualesquiera, y sea α el angulo que forman. Su producto escalar es:

 V * U = |V| * |U| * cos(α) = a*m + b*n + c*p

Se demuestra rapidamente que si el angulo que forman dos vectores es 90º, el producto escalar de esos vectores sera nulo.

- Producto Vectorial de dos vectores:

El producto vectorial de dos vectores es una operacion que transforma dos vectores en uno ortogonal a los dos anteriores. Asimismo, geometricamente el modulo del producto vectorial de dos vectores es el area del paralelogramo que forman ellos mismos y otros dos vectores paralelos a si mismos desde los extremos de los anteriores. Se calcula de la sigueinte manera, con la notacion anterior:

V x U = |U| * |V| * sen(α)

Donde la x es el simbolo del producto vectorial (existe otra notacion tambien). Se demuestra de nuevo facilmente que si los dos vectores son paralelos, es decir, forman 0º, el producto vectorial será nulo.Si la base en la que trabajamos es ortonormal, como por ejemplo, la cartesiana, tambien se puede calcular realizando el determinante siguient:



Donde a y b son dos vectores cualesquiera. La primera fila del determinante denota la base en la que trabajamos, en este caso la cartesiana, mientras que las 2 lineas inferiores son las componentes de los vectores a y b







-Producto mixto de 3 vectores
El producto mixto de 3 vectores da como resultado un escalar. Geometricamente es el volumen del paralelepipedo que formarian eses 3 vectores, y se puede calcular como:

[U,V,W] = producto mixto de U, V y W = U * (V x W)  

Donde U, V y W son 3 vectores cualesquiera. Se calcula mas rapidamente como el determinante de la matriz que forman los 3 vectores dispuestos en filas o en columnas. ( si son de 3 componentes) .
Para los que ya sabiais todo esto, un repasillo, para los que no lo sabiais, espero haber conseguido que os entretuvierais ademas de aprender!

Un saludete

Campos escalares y vectoriales. Gradiente, Rotacional y Divergencia

Ahora entramos en materia mas seria. Quizas menos intuitiva aunque intentare presentarla de una forma amena. Empecemos.

¿Que es un campo escalar? Un campo escalar, definido de forma poco rigurosa, es una zona del espacio que a cada punto del espacio le asigna un valor dado. Por ejemplo, la distribucion de temperaturas en una habitacion es funcion de la posicion, es decir T=T(x,y,z) . Pues bien, la temperatura en este caso es un campo escalar porque a cada punto del espacio (x,y,z) le asigna un valor numerico dado, por ejemplo: T(4,5,1)=27ºC.

 Los campos escalares manifiestan muchas propiedades de la fisica. En fisica clasica, el campo gravitatorio y el electroestatico son campos escalares, asi como la distribucion de presiones en un gas.

Una de las operaciones realizables con un campo escalar y de gran importancia en fisica es el Gradiente. El gradiente de una funcion f(x,y,z) se define como

                _____
                grad f = ∂f/∂x * dx + ∂f/∂y * dy + ∂f/∂z * dy

Donde ∂f/∂x denota la derivada parcial de f con respecto de x. O lo que es lo mismo, derivar una funcion que depende de (x,y,z) tomando y y z como constantes y tomando x como la unica variable independiente.

Sin entrar en demasiada complicacion matematica, el vector gradiente es tan importante en fisica y en fisica matematica porque indica la direccion de maximo ( o minimo, si tiene signo negativo) aumento de la variable a estudio. Un ejemplo rapido:

Supongamos que queremos saber la direccion de maximo aumento de temperaturas en el punto (1,2,1) en una habitación cuya distribución de temperaturas viene dada por T(x,y,z) = x^2 + 2xy + 3z^3

Calculamos las derivadas parciales y sustituimos (1,2,6) por (x,y,z)

∂f/∂x = 2x + 2y -> Sustituyendo ∂f/∂x= 5
∂f/∂y = 2x  -> Sustituyendo ∂f/∂y = 2
∂f/∂z = 9z^2 -> Sustituyendo ∂f/∂z = 9

Entonces, la direccion de maximo aumento de temperaturas es (5,2,9)

En los campos vectoriales no me prodigare tanto, ya que son mucho mas complicados. Se definen como funciones vectoriales de variable vectorial, es decir, son funciones que asignan un vector a cada punto del espacio. Se utilizan para, por ejemplo,  modelizar las fuerzas electrostaticas y las fuerzas gravitacionales

2 Interesantes operaciones con los campos vectoriales son el Rotacional de un campo y la divergencia.
La divergencia indica la tendencia de un campo vectorial a originarse o destruirse en ciertos puntos, llamados "fuentes" y "sumideros". La divergencia asigna un campo escalar a un campo vectorial y se define matematicamente de esta manera:
                           _                                     _
                   Div F = (∂/∂x, ∂/∂x, ∂/∂x) * F


En este caso el asterisco denota el producto escalar de dos vectores, ya que F en este caso es un vector. Denotamos al vector (∂/∂x, ∂/∂x, ∂/∂x) como operador Nabla o ∇.



El Rotacional de un campo vectorial nos indica la tendencia de un campo vectorial a "rotar" alrededor de un punto. El rotacional asigna a un campo vectorial otro campo vectorial. Los campos conservativos, como el gravitatorio o el electroestatico son campos irrotacionales, es decir, que su rotacional es 0. Matematicamente lo calculamos de la siguiente manera.
            ____              _
            Rot F = ∇ x F

Donde la x denota el producto vectorial de Nabla por F. Todas estas propiedades vectoriales son de gran interes y el objeto central de estudio del Calculo Vectorial, una rama de la física que esta muy unida a las matematicas


Espero haberos entretenido

Un Saludo!

Introduccion a las demostraciones matematicas

  El otro dia, cuando cruzaba la Plaza de España en direccion al Ayuntamiento de la Coruña, pense en lo siguiente. La plaza es rectangular y para ir desde el vertice del que partia al de destino, podia ir cruzando dos lados del rectangulo o bien cruzarlo por una de sus diagonales. Obviamente, y dado que tenia prisa, lo cruce por una de sus diagonales. Mientras lo hacia pensaba, es obvio que la trayectoria diagonal era mas corta que la de recorrer los dos lados del cuadrado, pero por suerte o por desgracia, mis estudios en matematicas me pedian una demostracion mas rigurosa, asique nada mas llegue a clase me puse a demostrar la siguiente desigualdad:

                      h < a + b

  Donde h es la hipotenusa, y a, b los dos catetos de un triangulo rectangulo.

  A que viene todo esto? A que tanto en las matematicas, como en la ciencia, todo ha de ser demostrado, si no por experimentos, por las propias matematicas o la misma lógica. Eso diferencia a la ciencia de la religion basicamente: la ciencia se construye piedra a piedra, y antes de admitir algo como cierto, ha de ser demostrado, verificado, y si fuera necesario corregido; para formar parte del edificio cientifico. En mi experiencia, y quizas este equivocado, en matematicas y fisica he usado una serie de metodos para conseguir esas demostraciones, bien porque me lo han pedido en ejercicios, bien porque disfruto viendo como esas matematicas tan abstractas sirven en la vida real.

  El primer metodo, y el mas intuitivo es el metodo de reduccion al absurdo, empleado ya por Aristoteles en Grecia. Consiste en suponer que ocurre el contrario a la proposición que queremos demostrar, para llegar a un absurdo logico, que demuestre la realidad de la expresion original. Un ejemplo, demostremos algo que parece tan trivial como que 1 es mayor que 0:
  Supongamos entonces que 1 es menor que 0 y partamos desde ahi:

                                1 < 0 

 Ahora multiplicamos ambos miembros de la inecuacion por un numero, llamemosle k, que definimos como cualquier numero positivo: 2, 6, 35... el que sea. Entonces obtenemos:

                                1*k < 0*k      operando     k < 0   q.e.d

Pero eso es un absurdo, ya que definimos k como un numero positivo, luego se cumple que 1 es mayor que 0.

Otro interesante metodo de demostraciones es el metodo de induccion. Es un metodo solo aplicable a los numeros naturales, es decir, los numeros que van desde 1 hasta infinito, sin contar los numeros decimales.
El procedimiento a seguir es el siguiente. Comprobamos que se cumple para n=1, luego suponemos que se cumple para n= k , siendo k cualquier numero natural. Luego demostramos que se cumple para k+1. Se suele utilizar para demostrar propiedades de los numero naturales.

El ultimo metodo es el metodo "axiomatico". Partiendo de axiomas y teoremas contrastados anteriormente conseguir llegar a demostrar la propiedad deseada. Demostremos por ejemplo que cos^2(x) + sen^2(x) = 1

Para ello definamos un triangulo rectangulo como el del inicio del texto. h sera la hipotenusa, es decir su lado mas largo, y a y b sus dos catetos o lados mas pequeños. Partamos del supuesto conocido teorema de pitagoras, es decir :

   h^2 = a^2 + b^2   (1)

y ahora como utilizaremos las definiciones de seno y coseno. El seno de un angulo se define como la relacion que existe entre el cateto opuesto a ese angulo entre la hipotenusa. El coseno de un angulo es la relacion entre el cateto contiguo a un angulo y la hipotenusa del triangulo. O, traducido a nuestro problema:

   sen(x) = a/h         cos(x) = b/h

Donde x denota un angulo cualquiera y llamando a al cateto opuesto al angulo en cuestion y b al cateto contiguo. Despejamos a y b, y sustituimos en (1)

a= h* sen(x)       b= h*cos(x)            sustituyendo

h^2 * sen^2(x) + h^2 * cos^2 (x) = h^2

Sacando factor comun del lado izquierdo y eliminandolo con el derecho obtenemos:


sen^2(x) + cos^2(x) = h^2 / h^2 = 1          q.e.d

q.e.d es una locucion latina muy empleada en las matematicas que significa literalmente "lo que queriamos demostrar" aunque usualmente se la traduce como "queda entonces demostrado", expresion que yo prefiero enormemente.

Espero haberos entretenido

Un saludo

Breve y amena introduccion al Calculo Diferencial

Saludos!

 Hoy abro este blog ya que los amigos de blogger me borraron el anterior. La idea de hoy es empezar comentandoos porque las ecuaciones diferenciales (en contra de las algebraicas) son tan importantes en fisica y intando quitar viejos temores acerca del calculo.

 Una ecuacion es diferencial cuando contiene derivadas de funciones. Una ecuacion algebraica es una ecuacion que simplemente contiene incognitas que son constantes a determinar. ¿ Por que son tan importantes las derivadas ? Expongamos un pequeño ejemplo:

 Las ecuaciones diferenciales nos permiten obtener no solo constantes, si no tambien funciones, es decir, fenomenos que varian con el tiempo o el espacio ( o cualquier otra cosa). Si nosotros por ejemplo, queremos saber la velocidad inicial de un coche que arranca, sabiendo el tiempo que le llevo desde la salida hasta la posicion actual (en una trayectoria recta) y tambien el espacio recorrido y que la aceleracion es constante ( es decir, un numero, 2,3,5 o lo que sea) operariamos con la conocida expresion del movimiento rectilineo uniformemente acelerado

               S =  V*T + 1/2 *a*T^2 

  Donde S es el espacio recorrido, V la velocidad, T^2 el tiempo al cuadrado y a la aceleracion. Si despejamos esa ecuacion obtendriamos la velocidad de un movil que acelera de forma constante.

Pero que pasa cuando la aceleracion no es constante? Lo mas normal cuando uno conduce su coche esque su aceleracion no sea constante! Entonces la ecuacion anterior no nos valdria de nada. Como evaluariamos el fenomeno? Utilizando el calculo diferencia e intregal (que son procesos inversos).

 La velocidad es la variacion del espacio recorrido respecto del tiempo, y la aceleracion la variacion de la velocidad con respecto del tiempo. Cuando nosotros tenemos cualquier funcion f=f(x), siempre tenemos una variable dependiente y uan independiente. En nuestro problema del movimiento, la variable independiente es el tiempo (t), y la variable dependiende el espacio (s). Es decir S= S(t) que denota que la variable S depende del tiempo.

 Como la velocidad era la variacion del espacio recorrido respecto del tiempo es equivalente a decir que la velocidad es la derivada de S(t), o lo que es equivalente V=S'(t). La derivada se define a grosso modo como "Cuanto varia la variable dependiente cuando variamos la variable indepentiente" o lo que es lo mismo en nuestro caso: cuanto varia el espacio cuando varia el tiempo.

Asimismo, podemos escribir la aceleracion de esta forma a=a(t)=V'(t), es decir la derivada de la velocidad con respecto del tiempo. Entonces, ahora si queremos obtener la velocidad de un automovil y sabemos la relacion de sus aceleraciones respecto del tiempo, es decir a(t), que al ser una funcion podria ser, desde un valor concreto (2,5,68 ...) hasta una funcion del tipo a(t) = t^2, lo que significaria que variaria con el tiempo de esa manera. Para conseguir la velocidad utilizariamos la operacion inversa a la derivada, es decir, la integral. Que transforma una funcion derivada en su funcion de origen o primitiva. Hariamos asi:

 a(t) = V' (t)  o lo que es lo mismo V(t) = ∫ a dt

 El palito a la izquierda de a es el simbolo de la integral, igual que la tilde es el de la derivada asimismo, el termino dt indica que se esta integrando respecto a la variable t. Si seguimos por ese camino, y la aceleracion fuera, por ejemplo a(t)=t^2, obtendriamos:

V(t) = ∫ a dt = ∫ t^2 dt    que utilizando las reglas de integracion , que no explicare aqui, pero en este caso son muy simples, obtendriamos:

V(t) = ∫ t^2 dt = t^3 / 3 +Vo

  La letra Vo hace referencia a un numero que se perdio al derivar, y que para obtenerlo necesitamos saber mas cosas del problema, la velocidad incial por ejemplo, es decir, V(0). 
  
Y ahora ya sabemos la velocidad de nuestro coche solo conociendo su aceleracion y la velocidad en un momento dado! Espero no haberos aburrido y intentar divertiros con estas demostraciones matematicas. Es cierto que para comprender esto correctamente se requieren algunos conocimientos elementales de matematicas, con las de la ESO seria mas que suficiente.

Un saludo y espero que os valiera de algo!