Campos escalares y vectoriales. Gradiente, Rotacional y Divergencia

Ahora entramos en materia mas seria. Quizas menos intuitiva aunque intentare presentarla de una forma amena. Empecemos.

¿Que es un campo escalar? Un campo escalar, definido de forma poco rigurosa, es una zona del espacio que a cada punto del espacio le asigna un valor dado. Por ejemplo, la distribucion de temperaturas en una habitacion es funcion de la posicion, es decir T=T(x,y,z) . Pues bien, la temperatura en este caso es un campo escalar porque a cada punto del espacio (x,y,z) le asigna un valor numerico dado, por ejemplo: T(4,5,1)=27ºC.

 Los campos escalares manifiestan muchas propiedades de la fisica. En fisica clasica, el campo gravitatorio y el electroestatico son campos escalares, asi como la distribucion de presiones en un gas.

Una de las operaciones realizables con un campo escalar y de gran importancia en fisica es el Gradiente. El gradiente de una funcion f(x,y,z) se define como

                _____
                grad f = ∂f/∂x * dx + ∂f/∂y * dy + ∂f/∂z * dy

Donde ∂f/∂x denota la derivada parcial de f con respecto de x. O lo que es lo mismo, derivar una funcion que depende de (x,y,z) tomando y y z como constantes y tomando x como la unica variable independiente.

Sin entrar en demasiada complicacion matematica, el vector gradiente es tan importante en fisica y en fisica matematica porque indica la direccion de maximo ( o minimo, si tiene signo negativo) aumento de la variable a estudio. Un ejemplo rapido:

Supongamos que queremos saber la direccion de maximo aumento de temperaturas en el punto (1,2,1) en una habitación cuya distribución de temperaturas viene dada por T(x,y,z) = x^2 + 2xy + 3z^3

Calculamos las derivadas parciales y sustituimos (1,2,6) por (x,y,z)

∂f/∂x = 2x + 2y -> Sustituyendo ∂f/∂x= 5
∂f/∂y = 2x  -> Sustituyendo ∂f/∂y = 2
∂f/∂z = 9z^2 -> Sustituyendo ∂f/∂z = 9

Entonces, la direccion de maximo aumento de temperaturas es (5,2,9)

En los campos vectoriales no me prodigare tanto, ya que son mucho mas complicados. Se definen como funciones vectoriales de variable vectorial, es decir, son funciones que asignan un vector a cada punto del espacio. Se utilizan para, por ejemplo,  modelizar las fuerzas electrostaticas y las fuerzas gravitacionales

2 Interesantes operaciones con los campos vectoriales son el Rotacional de un campo y la divergencia.
La divergencia indica la tendencia de un campo vectorial a originarse o destruirse en ciertos puntos, llamados "fuentes" y "sumideros". La divergencia asigna un campo escalar a un campo vectorial y se define matematicamente de esta manera:
                           _                                     _
                   Div F = (∂/∂x, ∂/∂x, ∂/∂x) * F


En este caso el asterisco denota el producto escalar de dos vectores, ya que F en este caso es un vector. Denotamos al vector (∂/∂x, ∂/∂x, ∂/∂x) como operador Nabla o ∇.



El Rotacional de un campo vectorial nos indica la tendencia de un campo vectorial a "rotar" alrededor de un punto. El rotacional asigna a un campo vectorial otro campo vectorial. Los campos conservativos, como el gravitatorio o el electroestatico son campos irrotacionales, es decir, que su rotacional es 0. Matematicamente lo calculamos de la siguiente manera.
            ____              _
            Rot F = ∇ x F

Donde la x denota el producto vectorial de Nabla por F. Todas estas propiedades vectoriales son de gran interes y el objeto central de estudio del Calculo Vectorial, una rama de la física que esta muy unida a las matematicas


Espero haberos entretenido

Un Saludo!