Introduccion a las demostraciones matematicas

  El otro dia, cuando cruzaba la Plaza de España en direccion al Ayuntamiento de la Coruña, pense en lo siguiente. La plaza es rectangular y para ir desde el vertice del que partia al de destino, podia ir cruzando dos lados del rectangulo o bien cruzarlo por una de sus diagonales. Obviamente, y dado que tenia prisa, lo cruce por una de sus diagonales. Mientras lo hacia pensaba, es obvio que la trayectoria diagonal era mas corta que la de recorrer los dos lados del cuadrado, pero por suerte o por desgracia, mis estudios en matematicas me pedian una demostracion mas rigurosa, asique nada mas llegue a clase me puse a demostrar la siguiente desigualdad:

                      h < a + b

  Donde h es la hipotenusa, y a, b los dos catetos de un triangulo rectangulo.

  A que viene todo esto? A que tanto en las matematicas, como en la ciencia, todo ha de ser demostrado, si no por experimentos, por las propias matematicas o la misma lógica. Eso diferencia a la ciencia de la religion basicamente: la ciencia se construye piedra a piedra, y antes de admitir algo como cierto, ha de ser demostrado, verificado, y si fuera necesario corregido; para formar parte del edificio cientifico. En mi experiencia, y quizas este equivocado, en matematicas y fisica he usado una serie de metodos para conseguir esas demostraciones, bien porque me lo han pedido en ejercicios, bien porque disfruto viendo como esas matematicas tan abstractas sirven en la vida real.

  El primer metodo, y el mas intuitivo es el metodo de reduccion al absurdo, empleado ya por Aristoteles en Grecia. Consiste en suponer que ocurre el contrario a la proposición que queremos demostrar, para llegar a un absurdo logico, que demuestre la realidad de la expresion original. Un ejemplo, demostremos algo que parece tan trivial como que 1 es mayor que 0:
  Supongamos entonces que 1 es menor que 0 y partamos desde ahi:

                                1 < 0 

 Ahora multiplicamos ambos miembros de la inecuacion por un numero, llamemosle k, que definimos como cualquier numero positivo: 2, 6, 35... el que sea. Entonces obtenemos:

                                1*k < 0*k      operando     k < 0   q.e.d

Pero eso es un absurdo, ya que definimos k como un numero positivo, luego se cumple que 1 es mayor que 0.

Otro interesante metodo de demostraciones es el metodo de induccion. Es un metodo solo aplicable a los numeros naturales, es decir, los numeros que van desde 1 hasta infinito, sin contar los numeros decimales.
El procedimiento a seguir es el siguiente. Comprobamos que se cumple para n=1, luego suponemos que se cumple para n= k , siendo k cualquier numero natural. Luego demostramos que se cumple para k+1. Se suele utilizar para demostrar propiedades de los numero naturales.

El ultimo metodo es el metodo "axiomatico". Partiendo de axiomas y teoremas contrastados anteriormente conseguir llegar a demostrar la propiedad deseada. Demostremos por ejemplo que cos^2(x) + sen^2(x) = 1

Para ello definamos un triangulo rectangulo como el del inicio del texto. h sera la hipotenusa, es decir su lado mas largo, y a y b sus dos catetos o lados mas pequeños. Partamos del supuesto conocido teorema de pitagoras, es decir :

   h^2 = a^2 + b^2   (1)

y ahora como utilizaremos las definiciones de seno y coseno. El seno de un angulo se define como la relacion que existe entre el cateto opuesto a ese angulo entre la hipotenusa. El coseno de un angulo es la relacion entre el cateto contiguo a un angulo y la hipotenusa del triangulo. O, traducido a nuestro problema:

   sen(x) = a/h         cos(x) = b/h

Donde x denota un angulo cualquiera y llamando a al cateto opuesto al angulo en cuestion y b al cateto contiguo. Despejamos a y b, y sustituimos en (1)

a= h* sen(x)       b= h*cos(x)            sustituyendo

h^2 * sen^2(x) + h^2 * cos^2 (x) = h^2

Sacando factor comun del lado izquierdo y eliminandolo con el derecho obtenemos:


sen^2(x) + cos^2(x) = h^2 / h^2 = 1          q.e.d

q.e.d es una locucion latina muy empleada en las matematicas que significa literalmente "lo que queriamos demostrar" aunque usualmente se la traduce como "queda entonces demostrado", expresion que yo prefiero enormemente.

Espero haberos entretenido

Un saludo