Y esque, para plantear los problemas de Fisica que tengo pensados, necesito proporcionaros una buena base matematica. Y hoy os hablare de otra cosa basica y fundamental, el concepto de numero.
Los Numeros Naturales
Empecemos por los numeros naturales. Los numeros naturales, denotados por lN ( Para los conjuntos de numeros se usa la negrita de pizarra), son {1,2,3,4,5...... }. El conjunto lN tiene algunas particularidades interesantes. La primera esque el 0 no es un numero natural. Se le llama conjunto numerable a todo aquel que es biyectivo con lN, lo que significa literalmente que se puede contar, por ejemplo, los numeros pares, los numeros impares...... Como dije en la primera entrada, es con estos numeros con los que se puede aplicar el principio de inducción. Los numeros naturales admiten dos operaciones, la suma, y el producto. Asimismo son un conjunto ordenado.
Los numeros enteros
El siguiente conjunto es el de los numeros enteros Z. Surgen de la necesidad de una solucion a ecuaciones del tipo.
X = b - a
donde b y a son dos numeros naturales y b <a. Los numeros enteros, que contienen a su vez a los naturales, son el conjunto {.... -2, -1, 0, 1, 2....}. Es un conjunto ordenado y numerable. Admiten la suma y el producto, y ademas añaden la propiedad de que toda diferencia de numeros enteros es un numero entero.
Los numeros Racionales
Los numeros racionales surgen de la necesidad de resolver ecuaciones de la forma
X * p = q
Siendo p y q numeros enteros cuales quiera. Al resolverla aparecen numeros de la forma q/p . Los conjuntos de los naturales y los enteros estan contenidos en Q. Es un conjunto numerable, que entre dos numeros siempre hay uno ( es denso ). Es un cuerpo ordenado y en el estan contenidas todas las operaciones de suma, diferencia, producto y cociente entre dos numeros enteros.
Los numeros Reales - Necesidad de Ampliar Q
La necesidad de ampliar los numeros racionales aparece cuando tenemos entre manos numeros que no se pueden representar como cociente de dos numeros. Por ejemplo, intentando resolver este problema. Imaginemos que tenemos un triangulo rectangulo entre manos, y sabemos que los dos catetos miden 1 cada uno. Entonces, por Pitagoras, la hipotenusa mide :
H = √( 1 + 1) = √2
Obtenemos √2. Ahora vamos a ver si ese numero puede ser expresado mediante el cociente de dos numeros enteros ( es decir, si es un numero racional ). Usemos el metodo de reduccion al absurdo, que explicamos en la segunda entrada del blog. Supongamos, para comenzar, que √2 = p/q , donde p y q son dos numeros enteros y no tienen divisores en comun ( es decir, es una fraccion irreducible ). Entonces:
2 = p² / q²
2q² = p²
El resultado de la ecuacion anterior, implica que p² es un numero par, ya que es el resultado del producto de otro numero cualquiera por 2. Si p² es un numero par, entonces p también lo sera, y podra expresarse como p = 2m. Si sustituimos, tendremos:
2q² = 4m² -> q² = 2m²
De ser cierta esta igualdad, q² tambien seria un numero par, por lo tanto q tambien lo seria. Si p y q fueran numeros pares, podriamos dividir entre 2 arriba y abajo en p/q , y por lo tanto no seria irreducible y eso es un absurdo, porque lo primero que postulamos es que p/q seria irreducible. De esta forma √2 es un numero irracional, y el conjunto que contiene a los numeros racionales e irracionales es el de los numeros Reales, que se denota como lR. Los numeros reales admiten la suma, el producto, la diferencia y el cociente entre numeros reales, ademas de la raiz enesima y logaritmo. Contienen a todos los conjuntos andes descritos, es un cuerpo denso, ya que entre dos racionales, siempre hay un irracional y es no numerable. Asimismo, todos los numeros reales admiten represntacion como un numero decimal. El conjunto de los reales no es el ultimo, luego esta el conjunto de los numeros complejos, que contienen una parte imaginaria, pero eso en otra entrada. Os propongo dos demostraciones de propiedades simple de los numeros enteros. A ver a quien le salen.
a x 0 = 0
a x (-1) = -a
Siendo a un numero entero cualquiera
No os doy mas la chapa! Adiosete!
No hay comentarios:
Publicar un comentario