Hoy abro este blog ya que los amigos de blogger me borraron el anterior. La idea de hoy es empezar comentandoos porque las ecuaciones diferenciales (en contra de las algebraicas) son tan importantes en fisica y intando quitar viejos temores acerca del calculo.
Una ecuacion es diferencial cuando contiene derivadas de funciones. Una ecuacion algebraica es una ecuacion que simplemente contiene incognitas que son constantes a determinar. ¿ Por que son tan importantes las derivadas ? Expongamos un pequeño ejemplo:
Las ecuaciones diferenciales nos permiten obtener no solo constantes, si no tambien funciones, es decir, fenomenos que varian con el tiempo o el espacio ( o cualquier otra cosa). Si nosotros por ejemplo, queremos saber la velocidad inicial de un coche que arranca, sabiendo el tiempo que le llevo desde la salida hasta la posicion actual (en una trayectoria recta) y tambien el espacio recorrido y que la aceleracion es constante ( es decir, un numero, 2,3,5 o lo que sea) operariamos con la conocida expresion del movimiento rectilineo uniformemente acelerado
S = V*T + 1/2 *a*T^2
Donde S es el espacio recorrido, V la velocidad, T^2 el tiempo al cuadrado y a la aceleracion. Si despejamos esa ecuacion obtendriamos la velocidad de un movil que acelera de forma constante.
Pero que pasa cuando la aceleracion no es constante? Lo mas normal cuando uno conduce su coche esque su aceleracion no sea constante! Entonces la ecuacion anterior no nos valdria de nada. Como evaluariamos el fenomeno? Utilizando el calculo diferencia e intregal (que son procesos inversos).
La velocidad es la variacion del espacio recorrido respecto del tiempo, y la aceleracion la variacion de la velocidad con respecto del tiempo. Cuando nosotros tenemos cualquier funcion f=f(x), siempre tenemos una variable dependiente y uan independiente. En nuestro problema del movimiento, la variable independiente es el tiempo (t), y la variable dependiende el espacio (s). Es decir S= S(t) que denota que la variable S depende del tiempo.
Como la velocidad era la variacion del espacio recorrido respecto del tiempo es equivalente a decir que la velocidad es la derivada de S(t), o lo que es equivalente V=S'(t). La derivada se define a grosso modo como "Cuanto varia la variable dependiente cuando variamos la variable indepentiente" o lo que es lo mismo en nuestro caso: cuanto varia el espacio cuando varia el tiempo.
Asimismo, podemos escribir la aceleracion de esta forma a=a(t)=V'(t), es decir la derivada de la velocidad con respecto del tiempo. Entonces, ahora si queremos obtener la velocidad de un automovil y sabemos la relacion de sus aceleraciones respecto del tiempo, es decir a(t), que al ser una funcion podria ser, desde un valor concreto (2,5,68 ...) hasta una funcion del tipo a(t) = t^2, lo que significaria que variaria con el tiempo de esa manera. Para conseguir la velocidad utilizariamos la operacion inversa a la derivada, es decir, la integral. Que transforma una funcion derivada en su funcion de origen o primitiva. Hariamos asi:
a(t) = V' (t) o lo que es lo mismo V(t) = ∫ a dt
El palito a la izquierda de a es el simbolo de la integral, igual que la tilde es el de la derivada asimismo, el termino dt indica que se esta integrando respecto a la variable t. Si seguimos por ese camino, y la aceleracion fuera, por ejemplo a(t)=t^2, obtendriamos:
V(t) = ∫ a dt = ∫ t^2 dt que utilizando las reglas de integracion , que no explicare aqui, pero en este caso son muy simples, obtendriamos:
V(t) = ∫ t^2 dt = t^3 / 3 +Vo
La letra Vo hace referencia a un numero que se perdio al derivar, y que para obtenerlo necesitamos saber mas cosas del problema, la velocidad incial por ejemplo, es decir, V(0).
Y ahora ya sabemos la velocidad de nuestro coche solo conociendo su aceleracion y la velocidad en un momento dado! Espero no haberos aburrido y intentar divertiros con estas demostraciones matematicas. Es cierto que para comprender esto correctamente se requieren algunos conocimientos elementales de matematicas, con las de la ESO seria mas que suficiente.
Un saludo y espero que os valiera de algo!
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