Introduccion al concepto de Numero

Despues de 2 semanitas, volvemos con más matematicas. Vosotros podriais pensar que para que el blog se llama relatos de ciencia si aun no hay ni un articulo sobre fisica, quimica etc etc.

Y esque, para plantear los problemas de Fisica que tengo pensados, necesito proporcionaros una buena base matematica. Y hoy os hablare de otra cosa basica y fundamental, el concepto de numero.

Los Numeros Naturales

Empecemos por los numeros naturales. Los numeros naturales, denotados por lN ( Para los conjuntos de numeros se usa la negrita de pizarra), son {1,2,3,4,5...... }. El conjunto lN tiene algunas particularidades interesantes. La primera esque el 0 no es un numero natural. Se le llama conjunto numerable a todo aquel que es biyectivo con lN, lo que significa literalmente que se puede contar, por ejemplo, los numeros pares, los numeros impares......  Como dije en la primera entrada, es con estos numeros con los que se puede aplicar el principio de inducción. Los numeros naturales admiten dos operaciones, la suma, y el producto. Asimismo son un conjunto ordenado.

Los numeros enteros

El siguiente conjunto es el de los numeros enteros Z. Surgen de la necesidad de una solucion a ecuaciones del tipo.

X = b - a

donde b y a son dos numeros naturales y b <a. Los numeros enteros, que contienen a su vez a los naturales, son el conjunto {.... -2, -1, 0, 1, 2....}. Es un conjunto ordenado y numerable. Admiten la suma y el producto, y ademas añaden la propiedad de que toda diferencia de numeros enteros es un numero entero.

Los numeros Racionales

Los numeros racionales surgen de la necesidad de resolver ecuaciones de la forma

X * p = q

Siendo p y q numeros enteros cuales quiera. Al resolverla aparecen numeros de la forma q/p . Los conjuntos de los naturales y los enteros estan contenidos en Q. Es un conjunto numerable, que entre dos numeros siempre hay uno ( es denso ). Es un cuerpo ordenado y en el estan contenidas todas las operaciones de suma, diferencia, producto y cociente entre dos numeros enteros.

Los numeros Reales - Necesidad de Ampliar Q

La necesidad de ampliar los numeros racionales aparece cuando tenemos entre manos numeros que no se pueden representar como cociente de dos numeros. Por ejemplo, intentando resolver este problema. Imaginemos que tenemos un triangulo rectangulo entre manos, y sabemos que los dos catetos miden 1 cada uno. Entonces, por Pitagoras, la hipotenusa mide :

 H = √( 1 + 1) = √2

Obtenemos √2. Ahora vamos a ver si ese numero puede ser expresado mediante el cociente de dos numeros enteros ( es decir, si es un numero racional ). Usemos el metodo de reduccion al absurdo, que explicamos en la segunda entrada del blog.  Supongamos, para comenzar, que √2 = p/q , donde p y q son dos numeros enteros y no tienen divisores en comun ( es decir, es una fraccion irreducible ). Entonces:

  

2 = p² / q²

 2q² = p²

El resultado de la ecuacion anterior, implica que p² es un numero par, ya que es el resultado del producto de otro numero cualquiera por 2. Si p² es un numero par, entonces p también lo sera, y podra expresarse como p = 2m. Si sustituimos, tendremos:

 2q² = 4m²  -> q² = 2m²

De ser cierta esta igualdad, q² tambien seria un numero par, por lo tanto q tambien lo seria. Si p y q fueran numeros pares, podriamos dividir entre 2 arriba y abajo en p/q , y por lo tanto no seria irreducible y eso es un absurdo, porque lo primero que postulamos es que p/q seria irreducible. De esta forma √2 es un numero irracional, y el conjunto que contiene a los numeros racionales e irracionales es el de los numeros Reales, que se denota como lR. Los numeros reales admiten la suma, el producto, la diferencia y el cociente entre numeros reales, ademas de la raiz enesima y logaritmo. Contienen a todos los conjuntos andes descritos, es un cuerpo denso, ya que entre dos racionales, siempre hay un irracional y es no numerable. Asimismo, todos los numeros reales admiten represntacion como un numero decimal. El conjunto de los reales no es el ultimo, luego esta el conjunto de los numeros complejos, que contienen una parte imaginaria, pero eso en otra entrada. Os propongo dos demostraciones de propiedades simple de los numeros enteros. A ver a quien le salen.

a x 0 = 0

a x (-1) = -a

Siendo a un numero entero cualquiera

No os doy mas la chapa! Adiosete!

Derivada de una función

Hoy hablare sobre la derivada de una funcion, de la que ya comente algo en mi primera entrada del blog.

El calculo diferencial ( y integral) fue desarrollado en sus inicios por Newton y Liebnizt, simualtaneamente pero de forma separada. Como Newton usaba una notacion muy complicada la que ha perdurado hasta nosotros es la de Liebnizt. Basicamente, aqui explicare la necesidad de la derivada, no los metodos para calcularla, si no sus implicaciones mas inmediatas

Imaginemos una recta. Por ejemplo la recta de ecuacion y = x. Es decir, una recta que pasa por el origen de coordenadas y tiene este aspecto



 Imaginemos también que es ladera de una montaña y queremos calcular la pendiente en su base, el punto (0,0) por ejemplo. Para ello tomamos otro punto, por ejemplo el (1,1). La distancia horizontal entre esos dos puntos es 1, al igual que su distancia vertical, por lo tanto:

  Pendiente = lo que sube / lo que avanza horizontalmente = (1 - 0) / (1 - 0) = 1

Era un problema trivial, ya que en la ecuacion de una recta en el plano xy, el numero que multiplica a la x ( el 1 en este caso) es la pendiente y es constante, precisamente por ser una recta.


Pero ahora avanzaremos mas. Supongamos que queremos calcular la pendiente de esta curva de la figura a la que llamaremos F(x), en el punto M. Para ello seguimos el procedimiento anterior, y escojemos un punto, P, de la curva y hallamos la pendiente del mismo modo que antes.


Como se ve en la grafica esta aproximacion a la curva por una recta que une dos puntos no es muy buena, ya que la pendiente de esa recta no va a coincidir con la de la curva en ese punto. Lo que tambien podemos observar, esque la precision aumenta cuanto mas juntos esten los puntos M y P. Llamemos a la distancia entre M y P Δx, como en la figura y llamemos f(x) a la coordenada Y de M; y f(x + Δx) a la coordenada Y de P. Si utilizamos la anterior formula de la pendiente obtenemos:

 Pendiente = lo que sube / lo que avanza horizontalmente =[ f(x+Δx) - f(x) ]/ Δx

Entonces, si llevamos esa distancia Δx cada vez a que sea un numero mas pequeño, moviendo el punto P sobre la curva hasta que esten lo mas cerca posible, es decir haciendo el limite de la pendiente cuando Δx tiende a 0, llegariamos a la seguiente expresion.

Pendiente = f ' (x) = lim    [ f(x + Δx) - f(x)] / Δx

                                Δx->0

Eso es precisamente la derivada de la función F(x) o f ' (x). La derivada se puede definir tambien como la pendiente de la recta tangente a la curva a estudio en el punto eligido, o; como en el caso actual, al ser f(x), en un punto genérico x. Gracias a la derivada, podemos evaluar cambios en las magnitudes que se producen gradualmente ( ver http://brevesrelatosdelaciencia.blogspot.com/2011/10/breve-y-amena-introduccion- al-calculo.html ). La derivada es una herramienta matématica clave y la base del cálculo infinitesimal, sin la cual la mayoria de los objetos tecnologicos de los que disponemos nunca podrian haber sido diseñados; asique le debemos mucho a Newton y a Liebnitz.

A partir de esta entrada se me ha ocurrido proponer algun ejercicio para que el que este interesado que lo realice y exponga su solucion, o pregunte cualquier duda, en un comentario o un email. Ahi va uno:

Calculese la derivada de las siguientes funciones:


- y = f(x) = x⁴ + 3x²
- y = f(x) = cosx + senx
- y = f(x) = 1/ x       para todo x distinto de 0



Saludos!

Vectores y operaciones vectoriales

Larga ausencia. Seguimos con cuestiones fundamentales sin las que me sera imposible entrar en materia mas seria. Hoy hablaremos de vectores y operaciones vectoriales basicas.

 Una forma de clasificar las magnitudes fisicas (temperatura, fuerza, masa...) es clasificandolas segun su naturaleza. Existen las magnitudes escalares, que quedan totalmente definidas con un numero (p ej. la masa ), también las magnitudes vectoriales (p ej, la fuerza), que necesitan estar definidas por un vector, y por ultimo las tensoriales (p ej, tensor de tensiones), que se definen con tensores.

 Un vector se puede definir de muchas maneras. Es una matriz de orden 1*n o n*1 donde n denota las componentes del vector. Tambien se define como un tensor de orden 1. O graficamente, como una linea con una flecha. Un vector posee una direccion, que es la recta soporte del vector; un punto de aplicacion, que es donde esta aplicado ese vector; un sentido sobre la recta y una intensidad o modulo, que es la longitud del vector y siempre es positivo.

 Un vector unitario es aquel que su modulo es uno. Un vector cualquiera se puede expresar como su direccion y sentido (vector unitario en la direccion del vector) multiplicado por su modulo. Para hallar el vector unitario de un vector es tan sencillo como dividir ese vector por su módulo.

 El modulo de un vector se halla de la siguiente manera, siendo V = (a,b,c) un vector de 3 componentes cualquieras.
       

|V| = modulo de V = √( a ² + b ² + c ²)

 Un vector que une dos puntos del espacio, se calcula haciendo extremo menos origen, es decir; si yo lo que quiero es unir lso puntos A(2,5,4) y B(4,1,-2) seria de la siguiente forma

AB = (4-2, 5-1, 4+2) = (2, 4, 6)

 Un vector en el espacio se suele expresar como la combinacion lineal de tres vectores unitarios entre si, en el sistema cartesiano se denotan como i,j,k y corresponde a las direcciones x,y,z del espacio cartesiano. Un vector de coordenadas (2,4,-1) se puede representar tambien como 2i + 4j - k.

            Operaciones con vectores


Las operaciones con vectores se parecen en algunos aspectos a las de los escalares. Antes de nada comentar que es imposible dividir un vector entre otro vector.

- Suma

La suma de un vector V=(a,b,c) con otro U(m,n,p) se hace de la siguiente manera V+U= (a + m, b + n, c + p)

- Diferencia

La diferencia de vectores se realiza analogamente a la de la suma, es decir, restando componente a componente.

- Producto de un vector por un escalar

Si queremos multiplicar un vector por un escalar lo realizariamos de la siguiente manera. Sea V=(a,b,c) un vector de 3 componentes y sea J un escalar cualquiera entonces:

J * V = J* (a, b, c) = (J*a, J*b, J*c)

La division por un escalar no es mas que el producto por una fracción, asi que se realiza del mismo modo.

- Producto escalar de dos vectores:

El producto escalar de dos vectores es una operación que convierte dos vectores en un escalar. El producto escalar se utiliza asiduamente para calcular el angulo entre dos vectores. Sean V= (a, b, c) y U ( m, n, p) dos vectores cualesquiera, y sea α el angulo que forman. Su producto escalar es:

 V * U = |V| * |U| * cos(α) = a*m + b*n + c*p

Se demuestra rapidamente que si el angulo que forman dos vectores es 90º, el producto escalar de esos vectores sera nulo.

- Producto Vectorial de dos vectores:

El producto vectorial de dos vectores es una operacion que transforma dos vectores en uno ortogonal a los dos anteriores. Asimismo, geometricamente el modulo del producto vectorial de dos vectores es el area del paralelogramo que forman ellos mismos y otros dos vectores paralelos a si mismos desde los extremos de los anteriores. Se calcula de la sigueinte manera, con la notacion anterior:

V x U = |U| * |V| * sen(α)

Donde la x es el simbolo del producto vectorial (existe otra notacion tambien). Se demuestra de nuevo facilmente que si los dos vectores son paralelos, es decir, forman 0º, el producto vectorial será nulo.Si la base en la que trabajamos es ortonormal, como por ejemplo, la cartesiana, tambien se puede calcular realizando el determinante siguient:



Donde a y b son dos vectores cualesquiera. La primera fila del determinante denota la base en la que trabajamos, en este caso la cartesiana, mientras que las 2 lineas inferiores son las componentes de los vectores a y b







-Producto mixto de 3 vectores
El producto mixto de 3 vectores da como resultado un escalar. Geometricamente es el volumen del paralelepipedo que formarian eses 3 vectores, y se puede calcular como:

[U,V,W] = producto mixto de U, V y W = U * (V x W)  

Donde U, V y W son 3 vectores cualesquiera. Se calcula mas rapidamente como el determinante de la matriz que forman los 3 vectores dispuestos en filas o en columnas. ( si son de 3 componentes) .
Para los que ya sabiais todo esto, un repasillo, para los que no lo sabiais, espero haber conseguido que os entretuvierais ademas de aprender!

Un saludete