El ciclo del combustible nuclear

Después de 2 años vuelvo a escribir en este blog. Esta vez intentaré no dejarlo abandonado y seguir actualizándolo bisemanalmente aproximadamente.

¿Alguna vez tuvisteis curiosidad de que le pasa al uranio desde que es extraído de la mina hasta que se usa como central y se convierte en un residuo? Pues de eso vamos a hablar hoy, del ciclo de combustible de las centrales nucleares.

Ciclo del Combustible

La figura anterior es, en resumen. el ciclo de combustible nuclear.Las etapas del ciclo de combustible son las siguientes:

1. Minería del Uranio
2. Concentración
3. Conversión y enriquecimiento
4. Fabricación de elementos combustibles
5. Uso de combustible en el reactor
6. Reproceso
7. Almacenamiento

Hay dos tipos de ciclos de combustible:

• Abierto: Sin reproceso, es el ciclo que tenemos en España.
• Cerrado: Con reproceso, ocurre por ejemplo en Francia. 

Vamos ahora a describir el proceso sin entrar en grandes detalles

-Minería 

El uranio en la corteza terrestre tiene una concentración de aproximadamente 0.0002 %. Os puede parecer poco, pero de hecho es 40 veces mas abundante que la plata y 800 veces mas abundante que el oro. El uranio se extrae, sobretodo, de los minerales de pechblenda y uraninita.

Pechblenda

Los mayores productores de mineral de Uranio son Canadá, Australia y Kazakstán. En España se extrajo hasta el 1 de enero del 2001.

-Concentración

Una vez el Uranio sale la mina, se le somete a un proceso físico-químico para aumentar el contenido de uranio hasta el 70% y conseguir un polvo fino con una riqueza en oxido de uranio del 99% Su formula química es U3O8 y se le conoce como "Yellow Cake"

Yellow Cake

Para que un reactor de 1000MW de potencia ( la mayoría de los que tenemos en España) funcione un año se necesitan aproximadamente 200 toneladas de Yellow Cake. Hasta 2001 se realizaban procesos de concentración en España. Hoy por hoy nuestros reactores lo obtienen del extranjero.

-Conversión y Enriquecimiento

El uranio, en la naturaleza es una concentración de fundamentalmente dos isótopos, el U-238 con una abundancia natural del 99.2762 % y el U-235, con una abundancia del 0,7182 %.

Algunos reactores funcionan con uranio natural, pero la mayoría de ellos funcionan debido a la fisión del U-235 principalmente. Para favorecer el proceso de fisión, interesa conseguir concentraciones de U-235 mayores, del orden del 3-5 %. A esto se le llama enriquecimiento.

Antes de poder realizar el enriquecimiento es necesario realizar la conversión del yellow cake U3O8 a fase gaseosa como Hexafloruro de Uranio (UF6), mediante sucesivas disoluciones y precipitaciones. 

Mediante el enriquecimiento, se consigue eliminar un 85 % del U-238. 200 toneladas de "yellow cake" se transforman en 32 toneladas de UF6 enriquecido. Esta etapa del ciclo de combustible nunca se ha realizado en España. Muy pocos paises tienen el ciclo completo del uranio, y esta es la parte mas polemica, ya que este proceso es el mismo que se utiliza en la fabricación de armas nucleares (aunque parte de los residuos del ciclo de combustible (Pu) son de mayor importancia en la fabricación de armas nucleares)

 

"Explicación" del enriquecimiento. (La Razón)

-Fabricación de elementos combustibles (EC)

 Una vez tenemos el uranio enriquecido en forma de UF6, se somete a un proceso quimico y se transforma en dioxido de uranio en polvo. Este polvo se calienta a gran temperatura y se prensa, obteniendose las pastillas de dioxido de uranio sinterizado, de 1 dm de diametro aproximadamente.

 

"Pellets" de Dióxido de Uranio

 Estas pastillas se introducen en unas varillas de una aleación de circonio (Zircalloy) de 4 metros de altura que son las propias varillas de combustible. Las varillas se agrupan en los elementos de combustible, que consiguen darle estabilidad a la estructura, asi como añadir las huecos en donde se introducen las barras de control del reactor.

Elemento de Combustible

Hasta aqui para conseguir combustible fresco para el reactor. En España se fabrican EC desde 1985 en Salamanca. Trabajan para los reactores españoles y también exporta a otros paises.

-Uso en el reactor

 

Los elementos de combustible se introducen en el núcleo del reactor. Tras una serie de ciclos de quemado y concluido su ciclo de producción energética, los elementos de combustible son almacenados en las piscinas de la central. El agua sirve como blindaje contra la radiación y elimina el intenso calor que producen los elementos combustibles ya gastados.

Piscinas en la central nuclear de Vandellós II

Una vez han pasados unos años (entre 2 y 10) se considera que el combustible es un residuo radiactivo ( si el ciclo es abierto) o que está preparado para el reproceso (en el ciclo cerrado).

-Reproceso

El combustible gastado esta compuesto por:

• 95.52 % de Uranio empobrecido
• 0.97 % de Plutonio
• 3.43 % de productos de fisión y activación
• 0.078 % de actínidos minoritarios

El reproceso consiste en la extracción del combustible gastado del uranio y plutonio para volver a ser usados en el ciclo nuclear. El Uranio recuperado se envía de nuevo a la planta de conversión y enriquecimiento para volver a obtener uranio enriquecido y el plutonio se traslada a la fabrica de Elementos Combustibles, en donde se fabrican pastillas de mezcla de uranio y plutonio llamadas pastillas MOX. El resto de actínidos y productos de fusión se vitrifican, con la intención de inmovilizarlos y darles estabilidad química, y se introducen en bidones de acero inoxidable. En la jerga atómica, a estos residuos se les conoce como "Vidrios".

El reproceso consigue reducir el volumen de residuos nucleares en un 97 % y se obtiene nuevo combustible para la central nuclear. En España nunca se adoptó, y es porque entre sus grandes ventajas, el reproceso tiene una desventaja fundamental, es más caro que producir nuevos elementos combustibles.

-Almacenamiento de residuos

En la primera parte del ciclo, hasta el uso en el reactor, se generan residuos de vida corta y poca producción de calor, que tienen su almacenamiento definitivo en España en el Cabril (Cordoba).

El Cabril (Córdoba)

En la segunda parte del ciclo se producen elementos combustibles gastados (ciclo abierto) o vidrios (ciclo cerrado) como residuos. Estos residuos generan grandes cantidades de calor, tienen periodos de actividad muy largos (cerca de 1.000.000 años para reducirse a la del uranio natural).  Hasta hoy, en el mundo solo se ha llegado a instalaciones de almacenamiento temporal (ATC), en piscinas o en contenedor metálicos; pero se están produciendo grandes avances en este tema, ya que en Finlandia se está realizando la construcción del primer AGP (Almacenamiento Geológico Profundo) en donde se realizaría un almacenamiento definitivo de estos residuos.

Esquema del ATC español (En proyecto)

Esquema de un AGP

Espero haberos despejado lagunas acerca del ciclo del combustible. El tema de los residuos ha sido algo escueto, pero en otra actualización espero cubrirlo con mas detalle.

 Os dejo aqui también una animación muy buena realizada por el País en la que viene esquematizado el ciclo explicando con algún detalle los diferentes procesos

Animación sobre el ciclo del combustible

Adios amigos!

Hidroestática

En los comienzos de febrero, escribire por fin mi primer post que sera sobre física. Para empezar fuerte, he elegido un tema que me gusta mucho y que me parece muy interesante. La hidroestatica.

La hidroestatica es la rama de la fisica que estudia el comportamiendo de los fluidos ( casi siempre el agua ) cuando estan en reposo, es decir, cuando no actuan fuerzas externas sobre ellos.

Uno de los mas importantes principios de la hidroestatica es el archiconocido principio de Arquimedes. El principio de Arquimedes nos dice que todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical hacia arriba igual al peso del volumen de fluido desalojado, es decir:

E = empuje = V * D * g

Donde V es el volumen del fluido desalojado, D es la densidad del fluido y g es la aceleracion de la gravedad ( aproximadamente 9,8 en condiciones normales).  Pero ojo! esto no tiene nada que ver con la flotabilidad del cuerpo sumergido, el empuje de abajo hacia arriba no siempre es suficiente para desplazar al cuerpo pues si este es más denso que el fluido no se desplazara hacia arriba, simplemente se hundira mas lentamente. Subirá solo si su densidad es menor que la del fluido.

Otro interesante principio de la hidroestatica es el principio de los vasos comunicantes. Afirma que dos recipientes conectados por su parte inferior que contengan fluido, la altura de fluido alcanzada en ambos recipientes sera la misma en condiciones hidroestaticas. Esto se usa mucho en las prensas hidraulicas y en conducción de aguas.

En la hidrostatica, una de las principales magnitudes de estudio es la presion. La presion hidroestatica es la presion debida al peso propio del fluido, y es la fuerza que ejerce sobre las paredes que lo contienen y sobre cualquier cuerpo sumergido en su interior. Por ejemplo, es conocido que los submarinistas y los batiscafos tienen que estar preparados para soportar presiones cada vez mas altas segun descendemos, ya que sobre nosotros estamos aguantando el peso de una columna de agua tan larga como profundos estemos.

El agua, aunque parezca mentira, pesa, y pesa bastante. Un metro cubico de agua pesa 1000 kilogramos nada mas y nada menos, si te sumerges unos pocos metros, la presion que soportas es bastante grande, por eso las inmersiones se recomienda hacerlas poco a poco, igual que las ascensiones. Otra propiedad curiosa del agua, esque es casi incompresible. De hecho es poco menos incompresible que sustancias como el acero.

La presión hidroestatica aumenta linealmente con la profundidad. A medida que descendemos la relacion entre profundidad y presion se mantiene constante. El estudio de las presiones y la flotabilidad suelen ser la parte central de estudio de la hidroestatica.

La siguiente propiedad de los fluidos que comentare será la tension superficial. La tension superficial es lo que hace, por ejemplo, que tu vaso lleno hasta arriba no desborde hasta que no se añade mas liquido. Fisicamente, es la resistencia que tiene un fluido a aumentar su superficie. Esto es lo que hace que los Zapateros, esos pequeños insectos acuaticos, puedan "caminar" por el agua. Es una fuerza pequeña, pero que permite que se manifiesten fenomenos como el de la imagen, y la capilaridad. En la imagen vemos como un clip, que esta por debajo del nivel del agua no se sumerge totalmente, y como a pesar de estar totalmente lleno, el vaso no se desborda.

. 

La capilaridad es un fenomeno por el cual, gracias a la tension superficial, un fluido puede ascender por un pequeño tubo vertical. El liquido sigue subiendo hasta que el peso del liquido que esta en el tubo es mayor que la tension superficial. Esto solo ocurre en tubos muy pequeños, y no como todos los fluidos asciende, en otras ocasiones, si el liquido es muy denso, como el mercurio, el fluido desciende. La altura alcanzada depende de los materiales que esten en contacto

Con esto termino este esbozo sobre hidroestatica. No pondre ejercicios porque los problemas a resolver con el principio de arquimedes son muy simples, y si estais siguiendo esto no van a suponer ninguna dificultad para vosotros. Pero lo que si os pedire es que ahora que trataremos temas de fisica, si alguno que os inquiete especialmente o del que esteis interesados en aprender, hacedmelos saber en los comentarios y intentare ( si es que tengo algun conocimiento en ese campo) hacer un post sobre el.

Un saludo

Lo basico de las funciones reales de variable real

Hola amigos! La proxima entrada es posible que ya aborde temas fisicos aplicados. Hoy hablare de las funciones. Ya las introduje en las entradas sobre calculo, pero en ellas estaba suponiendo que la gente sabia muchas cosas que quizas no sabe, o que quizas convenga repasar. Alla vamos


Una funcion real de variable real es la relacion entre una variable independiente ( normalmente "x") y una variable dependiente ( normalmente "y"). Son variables porque no son valores constantes, como un numero, si no que la "y" varia segun como varia la "x" ("y" varia en funcion de "x"). las funciones son algo inherente en la naturaleza. Se utilizan en todos los campos en los que la matematica tiene alguna importancia. Las relaciones entre dos fenomenos (Velocidad y espacio recorrido, Oferta y demanda....) se suelen modelizar como funciones. Si una variable "y" depende de otra "x", se suele escribir de esta manera para mostrar su dependencia  y (x). Para calcular el valor de y que tiene una x dada se introduciria el valor de x en la ecuacion de la funcion y se obtendria el valor de y como si de una ecuacion normal se tratase. Se suelen representar en dos ejes coordenados: El eje de abscisas, en el que se situa la x, y el eje de ordenadas en el que se situa la y. Una forma facil de representar funciones en el plano es construir una tabla de valores, ir situando los puntos en un plano y luego unirlos como es debido.

Las funciones se clasifican de muchas formas. Una forma es por ejemplo diferenciar entre funciones linales y no lineales. Las funciones lineales son rectas y siempre tienen la misma expresion:

     y (x) = mx + n

Donde m es la pendiente de la recta, es decir la relacion entre lo que avanza verticalmente y lo que avanza horizontalmente y n es la "ordenada en el origen" ( es decir, cuando la x es igual a 0 el valor que toma la y). Esta es la forma que toma, por ejemplo, la funcion y = 2x - 3

Las funciones no lineales pueden ser de muchos tipos ( Parabolicas, Hiperbolicas, Senoidales...). basicamente son todas aquellas en las que la funcion no es de la forma   y = mx + n

Otro tipo de separacion es la que existe entre funciones continuas y no continuas. Para no entrar en asuntos de limites y continuidad de funciones. Una funcion discuntinua es aquella que la dibujarla no es una linea continua si no que tiene saltos, ausencia o desplazamiento de puntos o ramas que se van al infnito. Un ejemplo de ramas al infinito de una funcion discontinua es la funcion     y = 1/x

Del estudio de las funciones emergen posteriormente todo el edificio del calculo diferencial y integral. Sin duda el analisis de las funciones es una de las partes mas amplias, importantes y complicadas de la matematica. Para terminar os dejo un par de imagenes de funciones habituales y algun que otro ejercicio:

y = sen (x)

y = x ²

Ahora los ejercicios:

- Calcular el valor de las funciones siguientes en los puntos que se piden

 y = 2x² +12         en   x = 12

 y = sen ( x² / 2)    en    x = 6

y  = 1 / ( x-1 )       en    x = 1

Trigonometria Basica

Despues de la resaca de año nuevo vuelvo con fuerzas para daros unas nociones de trigonometria basica, y para los que la estudieis, las claves para que no se atasque demasiado.



Aunque en la trigonometria hay muchas formulas, realmente solo es necesario saber utilizar unas cuantas muy basicas. Para empezar diremos que la trigonometria es la rama de las matematicas que se ocupa de las "cosas que les pasan a los triangulos" , concretamente se centra en los triangulos rectangulos (aquellos que tienen un angulo recto, es decir, que forma 90º).

En un triangulo rectangulo pasan muchas cosas interesantes. Para empezar, el teorema de Pitagoras, conocido por todo el mundo, pero que es muy importante en trigonometria. Ahora vamos con los senos, cosenos y tangentes de los angulos.

El Seno de un ángulo se define como el cociente entre el cateto opuesto al angulo de estudio y la hipotenusa: Si quisieramos calcular el Seno del angulo que forman los lados rojo y verde del triangulo, (llamemos a ese angulo α) entonces procederiamos asi:

   Sen α = y / h

El Coseno de un ángulo se define a su vez como el cociente entre el cateto contiguo al angulo de estudio y la hipotenusa. Si seguimos con el angulo anterior, el coseno de α sera entonces: 

Cos α = x / h

La ultima de estas definiciones es la de la tangente. La Tangente de un ángulo es el cociente entre el cateto opuesto al angulo y el cateto contiguo. La tangente de α es igual a:

Tan α = tg α = y / x = sen α / cos α

La tangente de un angulo tambien es la relacion entre el seno y el coseno de ese angulo.

En trigonometria existen multitud de relaciones entre senos cosenos y tangentes. Pero con 4 de ellas se puede definir al resto:

1º)       Cos² α + Sen² α = 1   → Demostrado en la entrada 2 del blog ( http://brevesrelatosdelaciencia.blogspot.com/2011/10/introduccion-las-demostraciones.html )

2º)       Sen ( α + β ) = Sen (α) * Cos (β) + Sen (β) * Cos (α)

3º)      Cos ( α + β) = Sen(α) * Sen(β) + Cos(β) * Sen(α)

4º)      1 + tg² α =   1 / cos² α

Siendo α y β dos angulos cualesquiera

Con estas 4 ecuaciones se convierte en innecesario saberse de memoria las ecuaciones del angulo doble y del angulo mitad, porque son todas deducibles a partir de estas. Y esque es importante recordar que en las matematicas, es mucho mas facil usar la logica que recordar formulas infumables.


Como casi todas las operaciones matematicas, el seno, el coseno , y la tangente tienen operaciones inversas. El arcoseno de un valor dado transforma ese valor dado en el angulo cuyo seno coincidiria con ese valor.  El arcocoseno y el arcotangente funcionan de la misma manera pero para el coseno y la tangente respectivamente. 

Las funciones trigonometricas son fundamentales en la fisica y en las matematicas. El Seno, el Coseno y la tangente son funciones periodicas que definen los comportamientos de muchos fenomenos fisicos y, para no aburrir, son la forma mas rapida de relacionar distancias con angulos.

Hasta otra amigos!

Introduccion al concepto de Numero

Despues de 2 semanitas, volvemos con más matematicas. Vosotros podriais pensar que para que el blog se llama relatos de ciencia si aun no hay ni un articulo sobre fisica, quimica etc etc.

Y esque, para plantear los problemas de Fisica que tengo pensados, necesito proporcionaros una buena base matematica. Y hoy os hablare de otra cosa basica y fundamental, el concepto de numero.

Los Numeros Naturales

Empecemos por los numeros naturales. Los numeros naturales, denotados por lN ( Para los conjuntos de numeros se usa la negrita de pizarra), son {1,2,3,4,5...... }. El conjunto lN tiene algunas particularidades interesantes. La primera esque el 0 no es un numero natural. Se le llama conjunto numerable a todo aquel que es biyectivo con lN, lo que significa literalmente que se puede contar, por ejemplo, los numeros pares, los numeros impares......  Como dije en la primera entrada, es con estos numeros con los que se puede aplicar el principio de inducción. Los numeros naturales admiten dos operaciones, la suma, y el producto. Asimismo son un conjunto ordenado.

Los numeros enteros

El siguiente conjunto es el de los numeros enteros Z. Surgen de la necesidad de una solucion a ecuaciones del tipo.

X = b - a

donde b y a son dos numeros naturales y b <a. Los numeros enteros, que contienen a su vez a los naturales, son el conjunto {.... -2, -1, 0, 1, 2....}. Es un conjunto ordenado y numerable. Admiten la suma y el producto, y ademas añaden la propiedad de que toda diferencia de numeros enteros es un numero entero.

Los numeros Racionales

Los numeros racionales surgen de la necesidad de resolver ecuaciones de la forma

X * p = q

Siendo p y q numeros enteros cuales quiera. Al resolverla aparecen numeros de la forma q/p . Los conjuntos de los naturales y los enteros estan contenidos en Q. Es un conjunto numerable, que entre dos numeros siempre hay uno ( es denso ). Es un cuerpo ordenado y en el estan contenidas todas las operaciones de suma, diferencia, producto y cociente entre dos numeros enteros.

Los numeros Reales - Necesidad de Ampliar Q

La necesidad de ampliar los numeros racionales aparece cuando tenemos entre manos numeros que no se pueden representar como cociente de dos numeros. Por ejemplo, intentando resolver este problema. Imaginemos que tenemos un triangulo rectangulo entre manos, y sabemos que los dos catetos miden 1 cada uno. Entonces, por Pitagoras, la hipotenusa mide :

 H = √( 1 + 1) = √2

Obtenemos √2. Ahora vamos a ver si ese numero puede ser expresado mediante el cociente de dos numeros enteros ( es decir, si es un numero racional ). Usemos el metodo de reduccion al absurdo, que explicamos en la segunda entrada del blog.  Supongamos, para comenzar, que √2 = p/q , donde p y q son dos numeros enteros y no tienen divisores en comun ( es decir, es una fraccion irreducible ). Entonces:

  

2 = p² / q²

 2q² = p²

El resultado de la ecuacion anterior, implica que p² es un numero par, ya que es el resultado del producto de otro numero cualquiera por 2. Si p² es un numero par, entonces p también lo sera, y podra expresarse como p = 2m. Si sustituimos, tendremos:

 2q² = 4m²  -> q² = 2m²

De ser cierta esta igualdad, q² tambien seria un numero par, por lo tanto q tambien lo seria. Si p y q fueran numeros pares, podriamos dividir entre 2 arriba y abajo en p/q , y por lo tanto no seria irreducible y eso es un absurdo, porque lo primero que postulamos es que p/q seria irreducible. De esta forma √2 es un numero irracional, y el conjunto que contiene a los numeros racionales e irracionales es el de los numeros Reales, que se denota como lR. Los numeros reales admiten la suma, el producto, la diferencia y el cociente entre numeros reales, ademas de la raiz enesima y logaritmo. Contienen a todos los conjuntos andes descritos, es un cuerpo denso, ya que entre dos racionales, siempre hay un irracional y es no numerable. Asimismo, todos los numeros reales admiten represntacion como un numero decimal. El conjunto de los reales no es el ultimo, luego esta el conjunto de los numeros complejos, que contienen una parte imaginaria, pero eso en otra entrada. Os propongo dos demostraciones de propiedades simple de los numeros enteros. A ver a quien le salen.

a x 0 = 0

a x (-1) = -a

Siendo a un numero entero cualquiera

No os doy mas la chapa! Adiosete!

Derivada de una función

Hoy hablare sobre la derivada de una funcion, de la que ya comente algo en mi primera entrada del blog.

El calculo diferencial ( y integral) fue desarrollado en sus inicios por Newton y Liebnizt, simualtaneamente pero de forma separada. Como Newton usaba una notacion muy complicada la que ha perdurado hasta nosotros es la de Liebnizt. Basicamente, aqui explicare la necesidad de la derivada, no los metodos para calcularla, si no sus implicaciones mas inmediatas

Imaginemos una recta. Por ejemplo la recta de ecuacion y = x. Es decir, una recta que pasa por el origen de coordenadas y tiene este aspecto



 Imaginemos también que es ladera de una montaña y queremos calcular la pendiente en su base, el punto (0,0) por ejemplo. Para ello tomamos otro punto, por ejemplo el (1,1). La distancia horizontal entre esos dos puntos es 1, al igual que su distancia vertical, por lo tanto:

  Pendiente = lo que sube / lo que avanza horizontalmente = (1 - 0) / (1 - 0) = 1

Era un problema trivial, ya que en la ecuacion de una recta en el plano xy, el numero que multiplica a la x ( el 1 en este caso) es la pendiente y es constante, precisamente por ser una recta.


Pero ahora avanzaremos mas. Supongamos que queremos calcular la pendiente de esta curva de la figura a la que llamaremos F(x), en el punto M. Para ello seguimos el procedimiento anterior, y escojemos un punto, P, de la curva y hallamos la pendiente del mismo modo que antes.


Como se ve en la grafica esta aproximacion a la curva por una recta que une dos puntos no es muy buena, ya que la pendiente de esa recta no va a coincidir con la de la curva en ese punto. Lo que tambien podemos observar, esque la precision aumenta cuanto mas juntos esten los puntos M y P. Llamemos a la distancia entre M y P Δx, como en la figura y llamemos f(x) a la coordenada Y de M; y f(x + Δx) a la coordenada Y de P. Si utilizamos la anterior formula de la pendiente obtenemos:

 Pendiente = lo que sube / lo que avanza horizontalmente =[ f(x+Δx) - f(x) ]/ Δx

Entonces, si llevamos esa distancia Δx cada vez a que sea un numero mas pequeño, moviendo el punto P sobre la curva hasta que esten lo mas cerca posible, es decir haciendo el limite de la pendiente cuando Δx tiende a 0, llegariamos a la seguiente expresion.

Pendiente = f ' (x) = lim    [ f(x + Δx) - f(x)] / Δx

                                Δx->0

Eso es precisamente la derivada de la función F(x) o f ' (x). La derivada se puede definir tambien como la pendiente de la recta tangente a la curva a estudio en el punto eligido, o; como en el caso actual, al ser f(x), en un punto genérico x. Gracias a la derivada, podemos evaluar cambios en las magnitudes que se producen gradualmente ( ver http://brevesrelatosdelaciencia.blogspot.com/2011/10/breve-y-amena-introduccion- al-calculo.html ). La derivada es una herramienta matématica clave y la base del cálculo infinitesimal, sin la cual la mayoria de los objetos tecnologicos de los que disponemos nunca podrian haber sido diseñados; asique le debemos mucho a Newton y a Liebnitz.

A partir de esta entrada se me ha ocurrido proponer algun ejercicio para que el que este interesado que lo realice y exponga su solucion, o pregunte cualquier duda, en un comentario o un email. Ahi va uno:

Calculese la derivada de las siguientes funciones:


- y = f(x) = x⁴ + 3x²
- y = f(x) = cosx + senx
- y = f(x) = 1/ x       para todo x distinto de 0



Saludos!

Vectores y operaciones vectoriales

Larga ausencia. Seguimos con cuestiones fundamentales sin las que me sera imposible entrar en materia mas seria. Hoy hablaremos de vectores y operaciones vectoriales basicas.

 Una forma de clasificar las magnitudes fisicas (temperatura, fuerza, masa...) es clasificandolas segun su naturaleza. Existen las magnitudes escalares, que quedan totalmente definidas con un numero (p ej. la masa ), también las magnitudes vectoriales (p ej, la fuerza), que necesitan estar definidas por un vector, y por ultimo las tensoriales (p ej, tensor de tensiones), que se definen con tensores.

 Un vector se puede definir de muchas maneras. Es una matriz de orden 1*n o n*1 donde n denota las componentes del vector. Tambien se define como un tensor de orden 1. O graficamente, como una linea con una flecha. Un vector posee una direccion, que es la recta soporte del vector; un punto de aplicacion, que es donde esta aplicado ese vector; un sentido sobre la recta y una intensidad o modulo, que es la longitud del vector y siempre es positivo.

 Un vector unitario es aquel que su modulo es uno. Un vector cualquiera se puede expresar como su direccion y sentido (vector unitario en la direccion del vector) multiplicado por su modulo. Para hallar el vector unitario de un vector es tan sencillo como dividir ese vector por su módulo.

 El modulo de un vector se halla de la siguiente manera, siendo V = (a,b,c) un vector de 3 componentes cualquieras.
       

|V| = modulo de V = √( a ² + b ² + c ²)

 Un vector que une dos puntos del espacio, se calcula haciendo extremo menos origen, es decir; si yo lo que quiero es unir lso puntos A(2,5,4) y B(4,1,-2) seria de la siguiente forma

AB = (4-2, 5-1, 4+2) = (2, 4, 6)

 Un vector en el espacio se suele expresar como la combinacion lineal de tres vectores unitarios entre si, en el sistema cartesiano se denotan como i,j,k y corresponde a las direcciones x,y,z del espacio cartesiano. Un vector de coordenadas (2,4,-1) se puede representar tambien como 2i + 4j - k.

            Operaciones con vectores


Las operaciones con vectores se parecen en algunos aspectos a las de los escalares. Antes de nada comentar que es imposible dividir un vector entre otro vector.

- Suma

La suma de un vector V=(a,b,c) con otro U(m,n,p) se hace de la siguiente manera V+U= (a + m, b + n, c + p)

- Diferencia

La diferencia de vectores se realiza analogamente a la de la suma, es decir, restando componente a componente.

- Producto de un vector por un escalar

Si queremos multiplicar un vector por un escalar lo realizariamos de la siguiente manera. Sea V=(a,b,c) un vector de 3 componentes y sea J un escalar cualquiera entonces:

J * V = J* (a, b, c) = (J*a, J*b, J*c)

La division por un escalar no es mas que el producto por una fracción, asi que se realiza del mismo modo.

- Producto escalar de dos vectores:

El producto escalar de dos vectores es una operación que convierte dos vectores en un escalar. El producto escalar se utiliza asiduamente para calcular el angulo entre dos vectores. Sean V= (a, b, c) y U ( m, n, p) dos vectores cualesquiera, y sea α el angulo que forman. Su producto escalar es:

 V * U = |V| * |U| * cos(α) = a*m + b*n + c*p

Se demuestra rapidamente que si el angulo que forman dos vectores es 90º, el producto escalar de esos vectores sera nulo.

- Producto Vectorial de dos vectores:

El producto vectorial de dos vectores es una operacion que transforma dos vectores en uno ortogonal a los dos anteriores. Asimismo, geometricamente el modulo del producto vectorial de dos vectores es el area del paralelogramo que forman ellos mismos y otros dos vectores paralelos a si mismos desde los extremos de los anteriores. Se calcula de la sigueinte manera, con la notacion anterior:

V x U = |U| * |V| * sen(α)

Donde la x es el simbolo del producto vectorial (existe otra notacion tambien). Se demuestra de nuevo facilmente que si los dos vectores son paralelos, es decir, forman 0º, el producto vectorial será nulo.Si la base en la que trabajamos es ortonormal, como por ejemplo, la cartesiana, tambien se puede calcular realizando el determinante siguient:



Donde a y b son dos vectores cualesquiera. La primera fila del determinante denota la base en la que trabajamos, en este caso la cartesiana, mientras que las 2 lineas inferiores son las componentes de los vectores a y b







-Producto mixto de 3 vectores
El producto mixto de 3 vectores da como resultado un escalar. Geometricamente es el volumen del paralelepipedo que formarian eses 3 vectores, y se puede calcular como:

[U,V,W] = producto mixto de U, V y W = U * (V x W)  

Donde U, V y W son 3 vectores cualesquiera. Se calcula mas rapidamente como el determinante de la matriz que forman los 3 vectores dispuestos en filas o en columnas. ( si son de 3 componentes) .
Para los que ya sabiais todo esto, un repasillo, para los que no lo sabiais, espero haber conseguido que os entretuvierais ademas de aprender!

Un saludete