Radioactividad

Después de 6 meses vuelvo a escribir aquí, hoy sobre física. Voy a hablaros de la radiactividad, y el porque algunos átomos son radiactivos y desprenden partículas y radiación de forma espontánea.

La materia está compuesta por átomos, como seguro todos sabéis, y a su vez, los átonos se componen de un núcleo compuesto por protones y neutrones, y una corteza a su alrededor que contiene exclusivamente electrones.

El número de protones que posee un átomo se conoce como número atómico y se designa con la letra Z y el número de neutrones como número másico, que se escribe con la letra A

Tabla Periódica de los elementos

En la naturaleza existen 92 elementos químicos. Los distintos elementos químicos se caracterizan por el número de protones que contienen en el núcleo atómico: 1 para el Hidrógeno, 2 para el Helio, etc. Además, cada elemento tiene varias Isótopos en función del número de neutrones que tenga.  Hay átomos de carbono ( Z=6) que tienen 6 neutrones (Carbono -12), otros que tienen 7 neutrones (Carbono-13), y otros que tienen 8 (Carbono-14).

Isótopos del hidrógeno

Los núcleos atómicos son estables en función del número de protones y neutrones que poseen en el grupo. Los átomos con pocos protones son estables cuando tienen un numero parecido de protones que de neutrones, mientras que los átomos más pesados necesitan mas neutrones para estabilizar el núcleo.

De los aproximadamente 2500 isótopos que se conocen, solo 264 son estables. El resto son inestables, que no pueden permanecer mucho tiempo en ese estado, y sufren transformaciones para alcanzar otras formas más estables. A estes isótopos se les conoce como radionucleidos. Ahora vamos con un poco de historia.

Diagrama de Segre, que nos dice que isótopos son estables y cuales inestables

En 1896 Henri Becquerel, un físico francés, descubrió que las sales de uranio velaban las placas fotográficas en habitaciones oscuras, incluso colocando entre las sales papeles, cartón o otras barreras que la luz ordinaria no podía atravesar. Esto llevo a Becquerel a pensar que los átomos de uranio emitían una radiación que podía atravesar objetos como lo habían hecho los rayos X de Roentgen unos años antes.

Becquerel siguió investigando, y llegó a la conclusión de que la emisión de radiación no estaba alterada por la temperatura, la presión o la forma química del uranio a estudiar.

En 1898, Marie Curie descubrió en el mineral pechblenda un nuevo elemento que era mucho mas radiactivo que el uranio,  el radio y se dio cuenta de que la cantidad de radiación emitida dependía de la cantidad de sustancia radiactiva que se dispusiese. En 1911, Ernest Rutherford propuso que la radiactividad provenía del núcleo atómico, y demostró que la radiactividad podía arrancar electrones de los atomos y cargar el aire eléctricamente. También clasificó la desintegración radiactiva en 3 tipos: Alpha, Beta y Gamma, que describiré en otra entrada posterior.

Es interesante decir que estos pioneros de la radioactividad, no conocían los negativos efectos para la salud de la radioactividad, y en algunos de ellos, como Marie Curie, provocó su muerte.

Como conclusión,son radiactivas las sustancias que no presentan un balance correcto entre protones y neutrones. Cuando el número de neutrones es excesivo o demasiado pequeño, las fuerzas nucleares son incapaces de mantener los núcleos atómicos unidos, lo que les lleva a emitir partículas y radiación.

Desintegración Radiactiva

Y esto es todo por hoy, espero que os haya gustado. En un par de semanas habrá otra entrada que completara esta. La desintegración radiactiva.

Las leyes de la mecánica de Newton

En esta entrada, hablaremos de las 3 leyes del movimiento de Newton y su aplicación en la vida ordinaria, asi como del concepto de inercia, que es un concepto dificil de "ver" con facilidad, empezamos:

Principia Mathematica, el libro en el que Newton explicó su mecánica entre otras cosas

 Con las tres leyes de Newton y poquito más, podemos explicar la mayor parte de los problemas de mecánica en el mundo ordinario. A pesar de que a principios del siglo XX se vio superada por la mecánica de Einstein para lo muy grande y la cuántica en lo muy pequeño, la mecánica newtoniana es la que se sigue utilizando y explicando en la mayoria de las escuelas de ingeniería del mundo, debido a que para esas escalas, no da problemas sustanciales. Estas leyes forman, entre otras, lo que se conoce como Mecánica Clásica, en contraposición a las otras mecánicas ya mencionadas.

Primera ley de Newton: La ley de Inercia

La ley de inercia dice:

"Todo cuerpo preserva su estado de movimiento uniforme y rectilíneo o reposo a no ser que sea obligado a cambiar ese estado por  fuerzas que actúen sobre él"

Ley de la inercia

Se entiende que las fuerzas que actúan sobre el cuerpo no deben anularse entre sí. Este principio parece no funcionar en la vida ordinaria si no se tiene en cuenta el rozamiento de los cuerpos al moverse sobre otras superficies o fluidos.

De la ley anterior, definimos la inercia mecánica como la tendencia de un cuerpo a mantener su estado de moviento o reposo. Dentro del concepto de inercia mecánica subyacen dos: la masa inercial, de gran importancia en las bases de la teoría de la relatividad y que no describiremos aqui, y la inercia rotacional.

La inercia rotacional es una medida de la dificultad que opone un cuerpo a adquirir una aceleración rotatoria. Se mide con la magnitud física conocida como el momento de inercia, y depende de la forma del cuerpo respecto del eje sobre el que pretenda girar y de la dirección del propio eje. La siguiente imagen intenta expresar como 4 cuerpos de igual masa se aceleran de forma diferente debido a que su inercia es distinta.

"Carrera" entre momentos de inercia

Segunda ley de Newton: La ley de fuerza

Una fuerza es toda acción capaz de variar el estado de movimiento de un cuerpo o su forma. La fuerza es un vector (ya explicado en una entrada anterior), y como tal siempre tiene una dirección, una intensidad y un sentido.

La segunda ley de Newton nos dice:

"El cambio de movimiento es proporcional a la fuerza motriz impresa y ocurre según la línea recta a lo largo de la cual aquella fuerza se imprime."

En pocas palabras, tras trilear un poco con ciertas magnitudes relacionadas con el movimiento que describiré en otra entrada ( cantidad de movimiento (P)) , se obtiene la siguiente ecuación, una de las más importantes de la mecánica clásica:

 ∑ F = m * a

Esta ecuación nos dice que la suma ( que es lo que significa la letra ∑, la suma de todos...) las fuerzas que actuan en un sistema es igual al producto de la masa por la aceleración.

A la suma de fuerzas que actúan en un sistema se le conoce con el nombre de resultante o fuerza resultante. Como detalle añadiré que esta ecuación es absolutamente crucial en temas de estructuras, ya que la teoría de estructuras parte de las leyes de la estática, y éstas a su vez de igualar a 0 la suma de fuerzas que actúan en el sistema.


Tercera ley de Newton: El principio de acción-reacción

 Esto es lo que dice el principio de acción reacción:

"Con toda acción ocurre siempre una reacción igual y contraria: quiere decir que las acciones mutuas de dos cuerpos siempre son iguales y dirigidas en sentido opuesto."

Principio de acción-reacción

Estamos cansados de ver pruebas del funcionamiento de este principio. Un arma que dispara provoca un retroceso en el tirador, el empujar hacia abajo gases a gran velocidad hace que un cohete se eleve.... 

Este principio es de aplicación en casi todos los campos de la física. Por relacionarlo un poco con la rama de la física que yo estudio, las fuerzas que tienen que realizar los apoyos de una viga para que esta no se caiga son reacciones a las acciones (los pesos de los materiales que tienen encima, etc) que se aplican sobre la viga.

Viga sometida a una acción F, apoyada en dos puntos, que reaccionan con las fuerzas Ra y Rb

Una pregunta que en ocasiones viene a la mente cuando se estudia esta ley es: ¿ Si cada acción provoca una reacción igual y de sentido contrario, como es que ambas no se anulan mutuamente ? La respues es porque actuan sobre cuerpos distintos!


Y esto es todo por hoy. Concluimos esta brevísima explicación de las tres leyes de Newton. La próxima actualización será de matemáticas.

Un saludo!

El espectro electromagnético

Al final no he podido cumplir mi propósito de una entrada bisemanal, pero aquí estoy un mes después para seguir con la física. Hoy hablaremos del espectro electromagnético.

El espectro electromagnético

Es archiconocido por todos que la luz blanca que recibimos del Sol por ejemplo, se puede descomponer por un prisma o una gota de agua (en el caso del arco iris) en 7 colores diferentes que van desde el rojo hasta el violeta.

Lo cierto es que la luz solo es una pequeñisima parte del espectro de radiaciones electromagnéticas que se diferencian fundamentalmente en su longitud de onda. Nuestros ojos solo son capaces de captar una banda de longitudes de onda muy pequeña a la que llamamos luz visible, pero de hecho otros animales son capaces de ver en el infrarrojo (como las serpientes).

Basicamente, en función de su longitud de onda, las radiaciones electromagnéticas se clasifican en (de menor a mayor energía):

• Ondas de radio
• Microondas
• Rayos Infrarrojos
• Luz visible
• Rayos ultravioleta
• Rayos X
• Rayos gamma
• Rayos cósmicos

Procedamos a describirlos.

-Ondas de radio

Las ondas de radio son la franja del espectro que tiene mayor longitud de onda, pudiendo llegar a los cientos de miles de kilómetros. Debido a eso, son la parte del espectro menos energética, pero tienen una importancia vital en nuestro tiempo, ya que no solo la radio, si no la televisión y la telefonía móvil emiten y reciben en estas frecuencias. Y no sólo eso, su uso está muy extendido en campos como medicina y astronomía.

Radiotelescopios

-Microondas

Las microondas son ondas cuyas longitudes de onda van desde los 30 centímetros a 1 milímetro. Entre sus aplicaciones están las telecomunicaciones y los hornos de microondas, tan extendidos desde finales del siglo pasado, que mediante la emisión de ondas en esta banda de frecuencias, excitan las moléculas haciéndolas vibrar, aumentando así su temperatura

-Rayos infrarrojos

La radiación infrarroja tiene su longitud de onda en el orden de los milímetros. Tiene una importancia especial por el hecho de que según la ley de Wien todos los cuerpos emiten radiaciones en función de su temperatura, y todos los objetos cotidianos (incluidas las personas) emiten radiación infrarroja constantemente, por eso también se les conoce coloquialmente como rayos de calor. Este tipo de radiaciones tienen uso en las cámaras de visión nocturna e infrarrojos,  astronomía,  y otros campos; y es esta radiación, la que reflejada de vuelta a la tierra causa el efecto invernadero.

Descripción del efecto invernadero

Una vez atravesado el rango de la luz visible, la radiaciones electromagnéticas se vuelven cada vez más energéticas, siendo las que vamos a describir a partir de aqui peligrosas para la salud si no se toman precauciones.

-Radiación ultravioleta

La radiación ultravioleta (rayos UV) es una de las radiaciones que posee la luz emitida por el Sol. Posee diferentes efectos en la salud de los seres vivos, tanto benignos como perniciosos. La radiación ultravioleta en nuestra piel hace que nos pongamos morenos, precisamente para protegernos de las quemaduras del sol y de las radiaciones dañinas como ésta y estimula la producción de vitamina D. En exceso, se ha demostrado también que su absorción por la piel o ojos puede provocar diversas enfermedades como tumores o cataratas. La capa de ozono atmosférica actúa como un filtro protegiéndonos de las radiaciones ultravioletas mas dañinas.

Esquema de la capa de como actúa la cpaa de ozono

En cuanto a sus usos, podemos comentar el de los solariums, que no es otra cosa que una serie de lamparas de luz ultravioleta, su uso como desinfectante, y en astronomía.

Las 3 últimas radiaciones a comentar tienen algo en común, son radiaciones ionizantes, es decir son capaces de ionizar atomos al chocar su radiación con los electrones de los mismos, transformandolos en iones. Es por eso por lo que son especialmente peligrosas para la salud.

Ejemplo de ionización atómica

-Rayos X

Los rayos X, famosos por sus aplicaciones en medicina, son una serie de radiaciones capaces de atravesar cuerpos opacos sin gran dificultad. Se diferencian de los rayos Gamma fundamentalmente en su origen y en su energía, siendo estos últimos mucho mas energéticos. Debido a la capacidad de los rayos X para velar placas fotográficas, se han usado en medicina desde su descubrimiento, pero los rayos X entrañan una serie de peligros para la salud, ya que su exposición prolongada es capaz de provocar mutaciones en el ADN, asi como tumores o otros trastornos.

La primera radiografía de la historia, hecha por el descubridor de los rayos X, Roentgen

-Rayos Gamma

Los rayos Gamma son más energéticos que los rayos X. Tienen su origen en reacciones que ocurren en los nucleos atómicos, como la desintegración radiactiva o la fisión nuclear. También se producen en el espacio, pero la atmósfera los detiene en su camino a la superficie de la Tierra. Tienen una gran capacidad de penetración ( Pueden penetrar chapas de 2 cm de plomo o 6 cm de hormigón) y por eso son muy peligrosos para la salud. Interactúan con la materia como el resto de radiaciones ionizantes ya descritas, pudiendo causar los mismos trastornos de salud que los rayos X. En el universo se desarrollan en ocasiones explosiones de rayos Gamma en galaxias distantes, siendo los eventos más luminosos conocidos del universo.

Idealización de un brote de rayos Gamma

-Radiación cosmica

Los rayos cosmicos son partículas (la luz es a la vez una onda y una partícula llamada fotón) de altísima energía que provienen del espacio, y son la banda más energética del espectro. Proceden de zonas del espacio de gran turbulencia en las que han ocurrido eventos catastróficos en el pasado, como explosiones estelares (supernovas). Viajan casi a la velocidad de la luz y tienen energías enormes , pero los que llegan a la superficie terrestre están muy degradados debido a su interacción con las capas superiores de la atmósfera. 

Restos de una explosión estelar: la nebulosa del Cangrejo

Con esto terminamos nuestra descripición del espectro. Como seguramente ya sabreis, los objetos emisores de radiacion no emiten todo el espectro, si no bandas del mismo. Una bombilla ordinaria solo emite luz visible y infrarroja, mientras que el Sol emite en todas las frecuencias. Es una descripción muy breve de un montón de conceptos, pero si os ha interesado por vuestra cuenta podréis encontrar cantidad de información en internet sobre este tema. Espero que os haya gustado

Un saludo!

Hidroestática

En los comienzos de febrero, escribire por fin mi primer post que sera sobre física. Para empezar fuerte, he elegido un tema que me gusta mucho y que me parece muy interesante. La hidroestatica.

La hidroestatica es la rama de la fisica que estudia el comportamiendo de los fluidos ( casi siempre el agua ) cuando estan en reposo, es decir, cuando no actuan fuerzas externas sobre ellos.

Uno de los mas importantes principios de la hidroestatica es el archiconocido principio de Arquimedes. El principio de Arquimedes nos dice que todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical hacia arriba igual al peso del volumen de fluido desalojado, es decir:

E = empuje = V * D * g

Donde V es el volumen del fluido desalojado, D es la densidad del fluido y g es la aceleracion de la gravedad ( aproximadamente 9,8 en condiciones normales).  Pero ojo! esto no tiene nada que ver con la flotabilidad del cuerpo sumergido, el empuje de abajo hacia arriba no siempre es suficiente para desplazar al cuerpo pues si este es más denso que el fluido no se desplazara hacia arriba, simplemente se hundira mas lentamente. Subirá solo si su densidad es menor que la del fluido.

Otro interesante principio de la hidroestatica es el principio de los vasos comunicantes. Afirma que dos recipientes conectados por su parte inferior que contengan fluido, la altura de fluido alcanzada en ambos recipientes sera la misma en condiciones hidroestaticas. Esto se usa mucho en las prensas hidraulicas y en conducción de aguas.

En la hidrostatica, una de las principales magnitudes de estudio es la presion. La presion hidroestatica es la presion debida al peso propio del fluido, y es la fuerza que ejerce sobre las paredes que lo contienen y sobre cualquier cuerpo sumergido en su interior. Por ejemplo, es conocido que los submarinistas y los batiscafos tienen que estar preparados para soportar presiones cada vez mas altas segun descendemos, ya que sobre nosotros estamos aguantando el peso de una columna de agua tan larga como profundos estemos.

El agua, aunque parezca mentira, pesa, y pesa bastante. Un metro cubico de agua pesa 1000 kilogramos nada mas y nada menos, si te sumerges unos pocos metros, la presion que soportas es bastante grande, por eso las inmersiones se recomienda hacerlas poco a poco, igual que las ascensiones. Otra propiedad curiosa del agua, esque es casi incompresible. De hecho es poco menos incompresible que sustancias como el acero.

La presión hidroestatica aumenta linealmente con la profundidad. A medida que descendemos la relacion entre profundidad y presion se mantiene constante. El estudio de las presiones y la flotabilidad suelen ser la parte central de estudio de la hidroestatica.

La siguiente propiedad de los fluidos que comentare será la tension superficial. La tension superficial es lo que hace, por ejemplo, que tu vaso lleno hasta arriba no desborde hasta que no se añade mas liquido. Fisicamente, es la resistencia que tiene un fluido a aumentar su superficie. Esto es lo que hace que los Zapateros, esos pequeños insectos acuaticos, puedan "caminar" por el agua. Es una fuerza pequeña, pero que permite que se manifiesten fenomenos como el de la imagen, y la capilaridad. En la imagen vemos como un clip, que esta por debajo del nivel del agua no se sumerge totalmente, y como a pesar de estar totalmente lleno, el vaso no se desborda.

. 

La capilaridad es un fenomeno por el cual, gracias a la tension superficial, un fluido puede ascender por un pequeño tubo vertical. El liquido sigue subiendo hasta que el peso del liquido que esta en el tubo es mayor que la tension superficial. Esto solo ocurre en tubos muy pequeños, y no como todos los fluidos asciende, en otras ocasiones, si el liquido es muy denso, como el mercurio, el fluido desciende. La altura alcanzada depende de los materiales que esten en contacto

Con esto termino este esbozo sobre hidroestatica. No pondre ejercicios porque los problemas a resolver con el principio de arquimedes son muy simples, y si estais siguiendo esto no van a suponer ninguna dificultad para vosotros. Pero lo que si os pedire es que ahora que trataremos temas de fisica, si alguno que os inquiete especialmente o del que esteis interesados en aprender, hacedmelos saber en los comentarios y intentare ( si es que tengo algun conocimiento en ese campo) hacer un post sobre el.

Un saludo

Vectores y operaciones vectoriales

Larga ausencia. Seguimos con cuestiones fundamentales sin las que me sera imposible entrar en materia mas seria. Hoy hablaremos de vectores y operaciones vectoriales basicas.

 Una forma de clasificar las magnitudes fisicas (temperatura, fuerza, masa...) es clasificandolas segun su naturaleza. Existen las magnitudes escalares, que quedan totalmente definidas con un numero (p ej. la masa ), también las magnitudes vectoriales (p ej, la fuerza), que necesitan estar definidas por un vector, y por ultimo las tensoriales (p ej, tensor de tensiones), que se definen con tensores.

 Un vector se puede definir de muchas maneras. Es una matriz de orden 1*n o n*1 donde n denota las componentes del vector. Tambien se define como un tensor de orden 1. O graficamente, como una linea con una flecha. Un vector posee una direccion, que es la recta soporte del vector; un punto de aplicacion, que es donde esta aplicado ese vector; un sentido sobre la recta y una intensidad o modulo, que es la longitud del vector y siempre es positivo.

 Un vector unitario es aquel que su modulo es uno. Un vector cualquiera se puede expresar como su direccion y sentido (vector unitario en la direccion del vector) multiplicado por su modulo. Para hallar el vector unitario de un vector es tan sencillo como dividir ese vector por su módulo.

 El modulo de un vector se halla de la siguiente manera, siendo V = (a,b,c) un vector de 3 componentes cualquieras.
       

|V| = modulo de V = √( a ² + b ² + c ²)

 Un vector que une dos puntos del espacio, se calcula haciendo extremo menos origen, es decir; si yo lo que quiero es unir lso puntos A(2,5,4) y B(4,1,-2) seria de la siguiente forma

AB = (4-2, 5-1, 4+2) = (2, 4, 6)

 Un vector en el espacio se suele expresar como la combinacion lineal de tres vectores unitarios entre si, en el sistema cartesiano se denotan como i,j,k y corresponde a las direcciones x,y,z del espacio cartesiano. Un vector de coordenadas (2,4,-1) se puede representar tambien como 2i + 4j - k.

            Operaciones con vectores


Las operaciones con vectores se parecen en algunos aspectos a las de los escalares. Antes de nada comentar que es imposible dividir un vector entre otro vector.

- Suma

La suma de un vector V=(a,b,c) con otro U(m,n,p) se hace de la siguiente manera V+U= (a + m, b + n, c + p)

- Diferencia

La diferencia de vectores se realiza analogamente a la de la suma, es decir, restando componente a componente.

- Producto de un vector por un escalar

Si queremos multiplicar un vector por un escalar lo realizariamos de la siguiente manera. Sea V=(a,b,c) un vector de 3 componentes y sea J un escalar cualquiera entonces:

J * V = J* (a, b, c) = (J*a, J*b, J*c)

La division por un escalar no es mas que el producto por una fracción, asi que se realiza del mismo modo.

- Producto escalar de dos vectores:

El producto escalar de dos vectores es una operación que convierte dos vectores en un escalar. El producto escalar se utiliza asiduamente para calcular el angulo entre dos vectores. Sean V= (a, b, c) y U ( m, n, p) dos vectores cualesquiera, y sea α el angulo que forman. Su producto escalar es:

 V * U = |V| * |U| * cos(α) = a*m + b*n + c*p

Se demuestra rapidamente que si el angulo que forman dos vectores es 90º, el producto escalar de esos vectores sera nulo.

- Producto Vectorial de dos vectores:

El producto vectorial de dos vectores es una operacion que transforma dos vectores en uno ortogonal a los dos anteriores. Asimismo, geometricamente el modulo del producto vectorial de dos vectores es el area del paralelogramo que forman ellos mismos y otros dos vectores paralelos a si mismos desde los extremos de los anteriores. Se calcula de la sigueinte manera, con la notacion anterior:

V x U = |U| * |V| * sen(α)

Donde la x es el simbolo del producto vectorial (existe otra notacion tambien). Se demuestra de nuevo facilmente que si los dos vectores son paralelos, es decir, forman 0º, el producto vectorial será nulo.Si la base en la que trabajamos es ortonormal, como por ejemplo, la cartesiana, tambien se puede calcular realizando el determinante siguient:



Donde a y b son dos vectores cualesquiera. La primera fila del determinante denota la base en la que trabajamos, en este caso la cartesiana, mientras que las 2 lineas inferiores son las componentes de los vectores a y b







-Producto mixto de 3 vectores
El producto mixto de 3 vectores da como resultado un escalar. Geometricamente es el volumen del paralelepipedo que formarian eses 3 vectores, y se puede calcular como:

[U,V,W] = producto mixto de U, V y W = U * (V x W)  

Donde U, V y W son 3 vectores cualesquiera. Se calcula mas rapidamente como el determinante de la matriz que forman los 3 vectores dispuestos en filas o en columnas. ( si son de 3 componentes) .
Para los que ya sabiais todo esto, un repasillo, para los que no lo sabiais, espero haber conseguido que os entretuvierais ademas de aprender!

Un saludete

Campos escalares y vectoriales. Gradiente, Rotacional y Divergencia

Ahora entramos en materia mas seria. Quizas menos intuitiva aunque intentare presentarla de una forma amena. Empecemos.

¿Que es un campo escalar? Un campo escalar, definido de forma poco rigurosa, es una zona del espacio que a cada punto del espacio le asigna un valor dado. Por ejemplo, la distribucion de temperaturas en una habitacion es funcion de la posicion, es decir T=T(x,y,z) . Pues bien, la temperatura en este caso es un campo escalar porque a cada punto del espacio (x,y,z) le asigna un valor numerico dado, por ejemplo: T(4,5,1)=27ºC.

 Los campos escalares manifiestan muchas propiedades de la fisica. En fisica clasica, el campo gravitatorio y el electroestatico son campos escalares, asi como la distribucion de presiones en un gas.

Una de las operaciones realizables con un campo escalar y de gran importancia en fisica es el Gradiente. El gradiente de una funcion f(x,y,z) se define como

                _____
                grad f = ∂f/∂x * dx + ∂f/∂y * dy + ∂f/∂z * dy

Donde ∂f/∂x denota la derivada parcial de f con respecto de x. O lo que es lo mismo, derivar una funcion que depende de (x,y,z) tomando y y z como constantes y tomando x como la unica variable independiente.

Sin entrar en demasiada complicacion matematica, el vector gradiente es tan importante en fisica y en fisica matematica porque indica la direccion de maximo ( o minimo, si tiene signo negativo) aumento de la variable a estudio. Un ejemplo rapido:

Supongamos que queremos saber la direccion de maximo aumento de temperaturas en el punto (1,2,1) en una habitación cuya distribución de temperaturas viene dada por T(x,y,z) = x^2 + 2xy + 3z^3

Calculamos las derivadas parciales y sustituimos (1,2,6) por (x,y,z)

∂f/∂x = 2x + 2y -> Sustituyendo ∂f/∂x= 5
∂f/∂y = 2x  -> Sustituyendo ∂f/∂y = 2
∂f/∂z = 9z^2 -> Sustituyendo ∂f/∂z = 9

Entonces, la direccion de maximo aumento de temperaturas es (5,2,9)

En los campos vectoriales no me prodigare tanto, ya que son mucho mas complicados. Se definen como funciones vectoriales de variable vectorial, es decir, son funciones que asignan un vector a cada punto del espacio. Se utilizan para, por ejemplo,  modelizar las fuerzas electrostaticas y las fuerzas gravitacionales

2 Interesantes operaciones con los campos vectoriales son el Rotacional de un campo y la divergencia.
La divergencia indica la tendencia de un campo vectorial a originarse o destruirse en ciertos puntos, llamados "fuentes" y "sumideros". La divergencia asigna un campo escalar a un campo vectorial y se define matematicamente de esta manera:
                           _                                     _
                   Div F = (∂/∂x, ∂/∂x, ∂/∂x) * F


En este caso el asterisco denota el producto escalar de dos vectores, ya que F en este caso es un vector. Denotamos al vector (∂/∂x, ∂/∂x, ∂/∂x) como operador Nabla o ∇.



El Rotacional de un campo vectorial nos indica la tendencia de un campo vectorial a "rotar" alrededor de un punto. El rotacional asigna a un campo vectorial otro campo vectorial. Los campos conservativos, como el gravitatorio o el electroestatico son campos irrotacionales, es decir, que su rotacional es 0. Matematicamente lo calculamos de la siguiente manera.
            ____              _
            Rot F = ∇ x F

Donde la x denota el producto vectorial de Nabla por F. Todas estas propiedades vectoriales son de gran interes y el objeto central de estudio del Calculo Vectorial, una rama de la física que esta muy unida a las matematicas


Espero haberos entretenido

Un Saludo!

Breve y amena introduccion al Calculo Diferencial

Saludos!

 Hoy abro este blog ya que los amigos de blogger me borraron el anterior. La idea de hoy es empezar comentandoos porque las ecuaciones diferenciales (en contra de las algebraicas) son tan importantes en fisica y intando quitar viejos temores acerca del calculo.

 Una ecuacion es diferencial cuando contiene derivadas de funciones. Una ecuacion algebraica es una ecuacion que simplemente contiene incognitas que son constantes a determinar. ¿ Por que son tan importantes las derivadas ? Expongamos un pequeño ejemplo:

 Las ecuaciones diferenciales nos permiten obtener no solo constantes, si no tambien funciones, es decir, fenomenos que varian con el tiempo o el espacio ( o cualquier otra cosa). Si nosotros por ejemplo, queremos saber la velocidad inicial de un coche que arranca, sabiendo el tiempo que le llevo desde la salida hasta la posicion actual (en una trayectoria recta) y tambien el espacio recorrido y que la aceleracion es constante ( es decir, un numero, 2,3,5 o lo que sea) operariamos con la conocida expresion del movimiento rectilineo uniformemente acelerado

               S =  V*T + 1/2 *a*T^2 

  Donde S es el espacio recorrido, V la velocidad, T^2 el tiempo al cuadrado y a la aceleracion. Si despejamos esa ecuacion obtendriamos la velocidad de un movil que acelera de forma constante.

Pero que pasa cuando la aceleracion no es constante? Lo mas normal cuando uno conduce su coche esque su aceleracion no sea constante! Entonces la ecuacion anterior no nos valdria de nada. Como evaluariamos el fenomeno? Utilizando el calculo diferencia e intregal (que son procesos inversos).

 La velocidad es la variacion del espacio recorrido respecto del tiempo, y la aceleracion la variacion de la velocidad con respecto del tiempo. Cuando nosotros tenemos cualquier funcion f=f(x), siempre tenemos una variable dependiente y uan independiente. En nuestro problema del movimiento, la variable independiente es el tiempo (t), y la variable dependiende el espacio (s). Es decir S= S(t) que denota que la variable S depende del tiempo.

 Como la velocidad era la variacion del espacio recorrido respecto del tiempo es equivalente a decir que la velocidad es la derivada de S(t), o lo que es equivalente V=S'(t). La derivada se define a grosso modo como "Cuanto varia la variable dependiente cuando variamos la variable indepentiente" o lo que es lo mismo en nuestro caso: cuanto varia el espacio cuando varia el tiempo.

Asimismo, podemos escribir la aceleracion de esta forma a=a(t)=V'(t), es decir la derivada de la velocidad con respecto del tiempo. Entonces, ahora si queremos obtener la velocidad de un automovil y sabemos la relacion de sus aceleraciones respecto del tiempo, es decir a(t), que al ser una funcion podria ser, desde un valor concreto (2,5,68 ...) hasta una funcion del tipo a(t) = t^2, lo que significaria que variaria con el tiempo de esa manera. Para conseguir la velocidad utilizariamos la operacion inversa a la derivada, es decir, la integral. Que transforma una funcion derivada en su funcion de origen o primitiva. Hariamos asi:

 a(t) = V' (t)  o lo que es lo mismo V(t) = ∫ a dt

 El palito a la izquierda de a es el simbolo de la integral, igual que la tilde es el de la derivada asimismo, el termino dt indica que se esta integrando respecto a la variable t. Si seguimos por ese camino, y la aceleracion fuera, por ejemplo a(t)=t^2, obtendriamos:

V(t) = ∫ a dt = ∫ t^2 dt    que utilizando las reglas de integracion , que no explicare aqui, pero en este caso son muy simples, obtendriamos:

V(t) = ∫ t^2 dt = t^3 / 3 +Vo

  La letra Vo hace referencia a un numero que se perdio al derivar, y que para obtenerlo necesitamos saber mas cosas del problema, la velocidad incial por ejemplo, es decir, V(0). 
  
Y ahora ya sabemos la velocidad de nuestro coche solo conociendo su aceleracion y la velocidad en un momento dado! Espero no haberos aburrido y intentar divertiros con estas demostraciones matematicas. Es cierto que para comprender esto correctamente se requieren algunos conocimientos elementales de matematicas, con las de la ESO seria mas que suficiente.

Un saludo y espero que os valiera de algo!