Matrices. Operaciones Simples

 Hoy escribiré sobre matrices. El concepto de matriz esta muy ligado al de vector, ya que un vector no deja de ser una matriz.

Una matriz es, simplemente, un conjunto de números dispuestos en forma cuadrada o rectangular y encerrados por un paréntesis. Pero sin embargo, son muy importantes en álgebra, física, cálculo, etc... Por ejemplo, un uso típico de matrices es resolver sistemas de ecuaciones. Pongamos por caso el sistema:

3x + 4y + 5z = 2                                                                (  3  4  5  2 )

x + 2y + 3z = 1          se podría expresar como ->             ( 1  2  3  1 )

        y + z = -4                                                                   (  0  1  1 -4 )

¿Se entiende mas o menos verdad? De esta manera se pueden resolver sistemas de ecuaciones mucho mas rápido que con los métodos convencerles de sustitución, igualación o reducción; por una serie de métodos que comentaremos en otra ocasión. (Siento que los paréntesis no abarquen toda la matriz, pero el editor de texto no me lo permite fácilmente).

Las matrices tienen un orden, que seria como si dijéramos el "largo por el ancho", como si fuera un área de un rectángulo. La matriz que hay en la parte superior seria de orden 3x4, ya que es un matriz de 3 filas ( horizontales) y 4 columnas (verticales).  Una matriz interesante, es la matriz Identidad, también llamada delta de Kronecker, que consiste en:

     (1 0 0)

 I= (0 1 0)

     (0 0 1)

Siendo esta la matriz identidad de orden (3x3) pero existen de cualquier orden siempre que sean matrices cuadradas (mismo número de filas que de columnas)

Las matrices se pueden operar, como los números y los vectores, pero funcionan mas bien como estos últimos.

La suma de matrices es exactamente igual que la suma de vectores, suma componente a componente. Un ejemplo:

( 2  3  7 )          ( 5  1  3 )          (7  4  10)

(-1  2  3 )    +    (1 -2  4 )     =   (0   0   7)

 (4  -5  6 )         ( 2   3  1)         (6  -2  7)

Su diferencia no plantea el mayor problema tampoco:

( 2  3  7)           (5  1  3)           (-3    2   4)

(-1  2  3)     -    (1 -2  4)     =     (0    4  -1 )

( 4 -5  6)          (2   3  1)            (2   -8   5)

Es en el producto y el cociente donde aparecen las mayores diferencias respecto a las operaciones con números.

El producto matricial se resuelve aplicando este algoritmo:

(A B C)         (R S T)          ( (AxR + BxU + CxX)   (AxS + BxV + CxY)   (AxT + BxW + CxZ))

(D E F)     x   (U V W)  =   ( (DxR + ExU + FxX)    (DxS + ExV + FxY)    (DxT + ExW + FxZ))

(G H I)           (X Y Z)        ( (GxR + HxU + IxX)    (GxS + HxV + IxY)     (GxT + HxW + IxZ))

Donde A,B,C,D,E,F,G,H,I,R,S,T,U,V,W,X,Y y Z son números cualesquiera.

Para dejarlo mas claro; el algoritmo funciona así: Para obtener la componente de la matriz producto  que se ubica en la fila 1 y en la columna 2, por ejemplo, multiplicaríamos el primer número de la fila 1 de la primera matriz por el 1º de la segunda columna de la segunda matriz más el segundo número de la fila 1 de la primera matriz por el 2º de la segunda columna más el 3º número de la fila 1 por el 3º de la segunda columna de la segunda matriz.

Este algoritmo es válido para todas las matrices que pueden multiplicarse entre sí, pero no todas pueden. Para saber si dos matrices pueden multiplicarse entre si tenemos que fijarnos en el orden de las matrices que se multiplican. Imaginemos que tenemos estas matrices:

        ( 2 -1  3)                                                (6 -5 -1)

A =  ( -2  4  1)                   y                 B=    (1  2  -3)

        (  3 -8  3)                                              

Y queremos saber si podemos multiplicarlas entre si. Fijémonos en sus órdenes. El orden de A es 3x3 (3 filas y 3 columnas) y el orden de B es 2x3 ( 2 filas, 3 columnas). Ahora haríamos así:

Colocamos los ordenes de las matrices como si fuesen los números a multiplicar:

 (3x3) x (2x3)

Los números que nos interesan son aquellos que están mas cerca del signo de multiplicación entre ambos ordenes (3 y 2). Como estos números son diferentes, no se puede realizar la multiplicación matricial. 

Además de decirnos si podemos o no multiplicar las matrices, este sistema aporta más información. Cojamos las siguientes dos matrices:

        ( 2 -1  3)                                                (6 -5)

A =  ( -2  4  1)                   y                 B=    (1  2) 

        (  3 -8  3)                                               (3  4)

Y ahora realizamos nuestro pequeño truquillo:

           (3x3) x (3x2)

 En este caso, podemos multiplicar ambas matrices, ya que los números que están junto al X son idénticos (3). Además de eso, si tomamos los otros dos números, obtenemos el orden de la matriz resultante del producto matricial (3x2). Resolvamos el producto y comprobemoslo:

             ( (2x6 + -1x1 + 3x3)     (2x-5 + -1x2 +4x3))           (   20      0)
AxB =  ( (-2x6 + 4x1 + 1x3)     (-2x-5 + 4x2 + 4x-8))  =     (  -5    -14)   
             ( (3x6 + 1x-8 + 3x3)     (3x-5 + -8x2 +4x3))           (  35   -19)

Que es, como habíamos propuesto, de orden 3x2 (3 filas, 2 columnas).

Hablando ahora de la división, la división matricial no existe. Para resolver ecuaciones matriciales ( que las hay) del tipo:

A x X  = B 

Con A y B matrices conocidas y X matriz desconocida y todas ellas matrices cuadradas; es necesario calcular la inversa de la matriz A (si la matriz A admite inversa, que no todas lo hacen) y multiplicar a ambos lados de la ecuación por ella. Todo esto lo describiremos en otra ocasión, puesto que da sin problemas para otra entrada.

Espero que os haya sido de utilidad.

Un saludo