Campos escalares y vectoriales. Gradiente, Rotacional y Divergencia

Ahora entramos en materia mas seria. Quizas menos intuitiva aunque intentare presentarla de una forma amena. Empecemos.

¿Que es un campo escalar? Un campo escalar, definido de forma poco rigurosa, es una zona del espacio que a cada punto del espacio le asigna un valor dado. Por ejemplo, la distribucion de temperaturas en una habitacion es funcion de la posicion, es decir T=T(x,y,z) . Pues bien, la temperatura en este caso es un campo escalar porque a cada punto del espacio (x,y,z) le asigna un valor numerico dado, por ejemplo: T(4,5,1)=27ºC.

 Los campos escalares manifiestan muchas propiedades de la fisica. En fisica clasica, el campo gravitatorio y el electroestatico son campos escalares, asi como la distribucion de presiones en un gas.

Una de las operaciones realizables con un campo escalar y de gran importancia en fisica es el Gradiente. El gradiente de una funcion f(x,y,z) se define como

                _____
                grad f = ∂f/∂x * dx + ∂f/∂y * dy + ∂f/∂z * dy

Donde ∂f/∂x denota la derivada parcial de f con respecto de x. O lo que es lo mismo, derivar una funcion que depende de (x,y,z) tomando y y z como constantes y tomando x como la unica variable independiente.

Sin entrar en demasiada complicacion matematica, el vector gradiente es tan importante en fisica y en fisica matematica porque indica la direccion de maximo ( o minimo, si tiene signo negativo) aumento de la variable a estudio. Un ejemplo rapido:

Supongamos que queremos saber la direccion de maximo aumento de temperaturas en el punto (1,2,1) en una habitación cuya distribución de temperaturas viene dada por T(x,y,z) = x^2 + 2xy + 3z^3

Calculamos las derivadas parciales y sustituimos (1,2,6) por (x,y,z)

∂f/∂x = 2x + 2y -> Sustituyendo ∂f/∂x= 5
∂f/∂y = 2x  -> Sustituyendo ∂f/∂y = 2
∂f/∂z = 9z^2 -> Sustituyendo ∂f/∂z = 9

Entonces, la direccion de maximo aumento de temperaturas es (5,2,9)

En los campos vectoriales no me prodigare tanto, ya que son mucho mas complicados. Se definen como funciones vectoriales de variable vectorial, es decir, son funciones que asignan un vector a cada punto del espacio. Se utilizan para, por ejemplo,  modelizar las fuerzas electrostaticas y las fuerzas gravitacionales

2 Interesantes operaciones con los campos vectoriales son el Rotacional de un campo y la divergencia.
La divergencia indica la tendencia de un campo vectorial a originarse o destruirse en ciertos puntos, llamados "fuentes" y "sumideros". La divergencia asigna un campo escalar a un campo vectorial y se define matematicamente de esta manera:
                           _                                     _
                   Div F = (∂/∂x, ∂/∂x, ∂/∂x) * F


En este caso el asterisco denota el producto escalar de dos vectores, ya que F en este caso es un vector. Denotamos al vector (∂/∂x, ∂/∂x, ∂/∂x) como operador Nabla o ∇.



El Rotacional de un campo vectorial nos indica la tendencia de un campo vectorial a "rotar" alrededor de un punto. El rotacional asigna a un campo vectorial otro campo vectorial. Los campos conservativos, como el gravitatorio o el electroestatico son campos irrotacionales, es decir, que su rotacional es 0. Matematicamente lo calculamos de la siguiente manera.
            ____              _
            Rot F = ∇ x F

Donde la x denota el producto vectorial de Nabla por F. Todas estas propiedades vectoriales son de gran interes y el objeto central de estudio del Calculo Vectorial, una rama de la física que esta muy unida a las matematicas


Espero haberos entretenido

Un Saludo!

Introduccion a las demostraciones matematicas

  El otro dia, cuando cruzaba la Plaza de España en direccion al Ayuntamiento de la Coruña, pense en lo siguiente. La plaza es rectangular y para ir desde el vertice del que partia al de destino, podia ir cruzando dos lados del rectangulo o bien cruzarlo por una de sus diagonales. Obviamente, y dado que tenia prisa, lo cruce por una de sus diagonales. Mientras lo hacia pensaba, es obvio que la trayectoria diagonal era mas corta que la de recorrer los dos lados del cuadrado, pero por suerte o por desgracia, mis estudios en matematicas me pedian una demostracion mas rigurosa, asique nada mas llegue a clase me puse a demostrar la siguiente desigualdad:

                      h < a + b

  Donde h es la hipotenusa, y a, b los dos catetos de un triangulo rectangulo.

  A que viene todo esto? A que tanto en las matematicas, como en la ciencia, todo ha de ser demostrado, si no por experimentos, por las propias matematicas o la misma lógica. Eso diferencia a la ciencia de la religion basicamente: la ciencia se construye piedra a piedra, y antes de admitir algo como cierto, ha de ser demostrado, verificado, y si fuera necesario corregido; para formar parte del edificio cientifico. En mi experiencia, y quizas este equivocado, en matematicas y fisica he usado una serie de metodos para conseguir esas demostraciones, bien porque me lo han pedido en ejercicios, bien porque disfruto viendo como esas matematicas tan abstractas sirven en la vida real.

  El primer metodo, y el mas intuitivo es el metodo de reduccion al absurdo, empleado ya por Aristoteles en Grecia. Consiste en suponer que ocurre el contrario a la proposición que queremos demostrar, para llegar a un absurdo logico, que demuestre la realidad de la expresion original. Un ejemplo, demostremos algo que parece tan trivial como que 1 es mayor que 0:
  Supongamos entonces que 1 es menor que 0 y partamos desde ahi:

                                1 < 0 

 Ahora multiplicamos ambos miembros de la inecuacion por un numero, llamemosle k, que definimos como cualquier numero positivo: 2, 6, 35... el que sea. Entonces obtenemos:

                                1*k < 0*k      operando     k < 0   q.e.d

Pero eso es un absurdo, ya que definimos k como un numero positivo, luego se cumple que 1 es mayor que 0.

Otro interesante metodo de demostraciones es el metodo de induccion. Es un metodo solo aplicable a los numeros naturales, es decir, los numeros que van desde 1 hasta infinito, sin contar los numeros decimales.
El procedimiento a seguir es el siguiente. Comprobamos que se cumple para n=1, luego suponemos que se cumple para n= k , siendo k cualquier numero natural. Luego demostramos que se cumple para k+1. Se suele utilizar para demostrar propiedades de los numero naturales.

El ultimo metodo es el metodo "axiomatico". Partiendo de axiomas y teoremas contrastados anteriormente conseguir llegar a demostrar la propiedad deseada. Demostremos por ejemplo que cos^2(x) + sen^2(x) = 1

Para ello definamos un triangulo rectangulo como el del inicio del texto. h sera la hipotenusa, es decir su lado mas largo, y a y b sus dos catetos o lados mas pequeños. Partamos del supuesto conocido teorema de pitagoras, es decir :

   h^2 = a^2 + b^2   (1)

y ahora como utilizaremos las definiciones de seno y coseno. El seno de un angulo se define como la relacion que existe entre el cateto opuesto a ese angulo entre la hipotenusa. El coseno de un angulo es la relacion entre el cateto contiguo a un angulo y la hipotenusa del triangulo. O, traducido a nuestro problema:

   sen(x) = a/h         cos(x) = b/h

Donde x denota un angulo cualquiera y llamando a al cateto opuesto al angulo en cuestion y b al cateto contiguo. Despejamos a y b, y sustituimos en (1)

a= h* sen(x)       b= h*cos(x)            sustituyendo

h^2 * sen^2(x) + h^2 * cos^2 (x) = h^2

Sacando factor comun del lado izquierdo y eliminandolo con el derecho obtenemos:


sen^2(x) + cos^2(x) = h^2 / h^2 = 1          q.e.d

q.e.d es una locucion latina muy empleada en las matematicas que significa literalmente "lo que queriamos demostrar" aunque usualmente se la traduce como "queda entonces demostrado", expresion que yo prefiero enormemente.

Espero haberos entretenido

Un saludo

Breve y amena introduccion al Calculo Diferencial

Saludos!

 Hoy abro este blog ya que los amigos de blogger me borraron el anterior. La idea de hoy es empezar comentandoos porque las ecuaciones diferenciales (en contra de las algebraicas) son tan importantes en fisica y intando quitar viejos temores acerca del calculo.

 Una ecuacion es diferencial cuando contiene derivadas de funciones. Una ecuacion algebraica es una ecuacion que simplemente contiene incognitas que son constantes a determinar. ¿ Por que son tan importantes las derivadas ? Expongamos un pequeño ejemplo:

 Las ecuaciones diferenciales nos permiten obtener no solo constantes, si no tambien funciones, es decir, fenomenos que varian con el tiempo o el espacio ( o cualquier otra cosa). Si nosotros por ejemplo, queremos saber la velocidad inicial de un coche que arranca, sabiendo el tiempo que le llevo desde la salida hasta la posicion actual (en una trayectoria recta) y tambien el espacio recorrido y que la aceleracion es constante ( es decir, un numero, 2,3,5 o lo que sea) operariamos con la conocida expresion del movimiento rectilineo uniformemente acelerado

               S =  V*T + 1/2 *a*T^2 

  Donde S es el espacio recorrido, V la velocidad, T^2 el tiempo al cuadrado y a la aceleracion. Si despejamos esa ecuacion obtendriamos la velocidad de un movil que acelera de forma constante.

Pero que pasa cuando la aceleracion no es constante? Lo mas normal cuando uno conduce su coche esque su aceleracion no sea constante! Entonces la ecuacion anterior no nos valdria de nada. Como evaluariamos el fenomeno? Utilizando el calculo diferencia e intregal (que son procesos inversos).

 La velocidad es la variacion del espacio recorrido respecto del tiempo, y la aceleracion la variacion de la velocidad con respecto del tiempo. Cuando nosotros tenemos cualquier funcion f=f(x), siempre tenemos una variable dependiente y uan independiente. En nuestro problema del movimiento, la variable independiente es el tiempo (t), y la variable dependiende el espacio (s). Es decir S= S(t) que denota que la variable S depende del tiempo.

 Como la velocidad era la variacion del espacio recorrido respecto del tiempo es equivalente a decir que la velocidad es la derivada de S(t), o lo que es equivalente V=S'(t). La derivada se define a grosso modo como "Cuanto varia la variable dependiente cuando variamos la variable indepentiente" o lo que es lo mismo en nuestro caso: cuanto varia el espacio cuando varia el tiempo.

Asimismo, podemos escribir la aceleracion de esta forma a=a(t)=V'(t), es decir la derivada de la velocidad con respecto del tiempo. Entonces, ahora si queremos obtener la velocidad de un automovil y sabemos la relacion de sus aceleraciones respecto del tiempo, es decir a(t), que al ser una funcion podria ser, desde un valor concreto (2,5,68 ...) hasta una funcion del tipo a(t) = t^2, lo que significaria que variaria con el tiempo de esa manera. Para conseguir la velocidad utilizariamos la operacion inversa a la derivada, es decir, la integral. Que transforma una funcion derivada en su funcion de origen o primitiva. Hariamos asi:

 a(t) = V' (t)  o lo que es lo mismo V(t) = ∫ a dt

 El palito a la izquierda de a es el simbolo de la integral, igual que la tilde es el de la derivada asimismo, el termino dt indica que se esta integrando respecto a la variable t. Si seguimos por ese camino, y la aceleracion fuera, por ejemplo a(t)=t^2, obtendriamos:

V(t) = ∫ a dt = ∫ t^2 dt    que utilizando las reglas de integracion , que no explicare aqui, pero en este caso son muy simples, obtendriamos:

V(t) = ∫ t^2 dt = t^3 / 3 +Vo

  La letra Vo hace referencia a un numero que se perdio al derivar, y que para obtenerlo necesitamos saber mas cosas del problema, la velocidad incial por ejemplo, es decir, V(0). 
  
Y ahora ya sabemos la velocidad de nuestro coche solo conociendo su aceleracion y la velocidad en un momento dado! Espero no haberos aburrido y intentar divertiros con estas demostraciones matematicas. Es cierto que para comprender esto correctamente se requieren algunos conocimientos elementales de matematicas, con las de la ESO seria mas que suficiente.

Un saludo y espero que os valiera de algo!