Notación matemática y teoría de conjuntos

Saludos! Volvemos pronto y como prometí con matemáticas de nuevo. Hablare de los principios de los conjuntos y, para entenderlo bien, empezare describiendo la notación matemática básica que se utiliza en general en todos los ámbitos de la matemática.

Esquema que explica nociones de la teoría de conjuntos

Notación matématica:

Aquí describiré los caracteres matemáticos más importantes, antes es importante comentar que en conjuntos se denotan los conjuntos con letras mayúsculas A,B,C y sus elementos con letras minúsculas: a,b,c .. etc

• ∃, significa "existe".
• ∄, significa "no existe".
• ∀, significa "para todo".
• ∈, indica pertenencia a un conjunto o clase.
• ∉, indica no pertenencia a un conjunto o clase.
• ⊂, escrito como A⊂B indica que todos los elementos del conjunto A están en B.
• ≃ significa "aproximadamente igual".
• ⇒ significa "Implica", o "Es condición necesaria de:"
• ⇐ significa "Es condición suficiente de"
• ⇔ significa " Es condición necesaria y suficiente de" o "Si y sólo si"

Conjuntos:

Un conjunto no es más que una colección de elementos. Por ejemplo, un conjunto A, si esta formado por a,b,c y d se escribe:

A={a,b,c,d}

Ejemplo de conjunto

Si todos los elementos de un conjunto A están contenidos en un conjunto B, entonces A es un subconjunto de B, y se escribe A⊂B como se explicó antes. Para que dos conjuntos sean iguales, ha de cumplirse:

A=B ⇔ A⊂B y B⊂A

Se suele denotar como ∅ al conjunto vacío, esto es, al que no tiene ningún elemento.

Operaciones con conjuntos:

Con los conjuntos se pueden realizar algunas operaciones, que se suelen representar esquemáticamente con los diagramas de Venn, de forma que se vuelven mucho mas comprensibles para todos.

Unión:

La unión de dos conjuntos es aquel conjunto que contiene a todos los elementos de ambos conjuntos, se escribe de la siguiente forma:

Si A={a,c,m} y B={k,l,p} ,por ejemplo, entonces, su unión es igual a:

A∪B = {a,c,k,l,m,p}

Diagrama de Venn de la Unión

Esta definición se extiende a cualquier número de conjuntos.

Intersección:

La intersección de 2 conjuntos es el conjunto formado por los elementos comunes entre los 2 conjuntos. Lo expresaremos con un ejemplo:

A={1,6,9}, B={7,4,3,1,6,34,}

Entonces, su intersección será:

 A∩B = {1,6}

Diagrama de Venn de la intersección

Complementario:

La siguiente operación es el complementario. Dados dos conjuntos, A y B, que cumplan que A⊂B, llamamos complementario de A en B al conjunto de elementos de B que no están en A. De nuevo, utilizaremos un ejemplo:

A={3,5,12,87}, B={1,3,5,12,25,54,65,68,87,89}

El complementario de A en B será:    B \ A = {1,25,54,65,68,89}

Diagrama de Venn del complementario

Propiedades de estas operaciones son las siguientes (solo mencionadas):

1. (A∪B)∩C = (A∩C)∪ (B∩C)
2. (A∩B)∪C = (A∪C)∩(B∪C)
3. B \ (B \ A ) = A

Y además de estás, las dos leyes de De Morgan son las siguientes:

• C \ (A ∪ B) = ( C \ A) ∩ ( C \ B)  

Que viene a decir que: "El complementario de la unión es la intersección de los complementarios"

• C \ (A ∩ B) = ( C \ A) ∪ ( C \ B)  

Indicando que: "El complementario de la intersección es la unión de los complementarios"



Y esto es todo por hoy, termino aqui mi introducción a la teoría de conjuntos, espero que os fuese amena. la próxima entrada, física.