Hoy hablaremos de una de las ramas de las matemáticas mas temidas por los estudiantes, pero no desde el punto de vista académico, ya que la gente que las estudia en el instituto las ven como una herramienta que no tiene ningún valor en la vida real, cuando realmente no es así. Las integrales están en todas partes, y intentare introducirlas a partir de la resolución de los problemas de movimiento de vehiculos.
Coche con velocidad constante
Imaginemos que tenemos un coche, que se mueve a velocidad constante, 30 kilómetros por hora por ejemplo. Imaginemos también que queremos calcular cuantos kilometros es capaz de recorrer el coche entre la 2º y 4º horas de viaje. La cuenta es bien sencilla, ya que como es sabido por todos, el espacio recorrido (S) por un objeto que se mueve a velocidad (V) constante en un tiempo (T) se calcula:
S = V * T = 30 * 2 = 60 Km
Y obtendriamos que ha recorrido 60 kilómetros. Si se nos ocurriese representar en una gráfica la velocidad de ese coche con respecto del tiempo, obtendriamos algo así:
Área = Espacio recorrido = 2 * 30 = 60 Km
Lo mismo que obteniamos anteriormente!
La velocidad se vuelve función del tiempo
Ahora compliquemos ligeramente el problema. Imaginemos que en vez de a velocidad constante, el conductor del coche decide ir aumentando su velocidad progresivamente según el siguiente gráfico:
Al no ser la velocidad constante, no nos vale la fórmula que utilizamos anteriormente ya que V ahora cambia con el tiempo (es decir es función del tiempo), y la llamaremos V(t). Pero podemos aproximarnos a la solución correcta si dibujamos rectángulos cada 15 minutos entre las horas 2 y 4 del viaje, por ejemplo, y calculando su área total, de la siguiente manera. (Como la he dibujado yo mismo, los rectangulos no han quedado todos del mismo ancho, pero esa era la intención)
Entonces, calculariamos el espacio recorrido entre la 2º y la 4º hora con una aproximación "razonable" de la siguiente forma:
S = 1/4 de hora * ( V(2 horas) + V(2 horas y 15 minutos) + V ( 2 horas y media) + .......+V (3 horas 45 minutos) )
Siendo 1/4 de hora la base de todos los rectangulos y la V(t) la altura de cada uno de ellos.
Parece razonable que cuanto más pequeños sean los rectángulos, mayor precisión obtendremos. Entonces, igual que hicimos cuando describimos la derivada, haremos un ejercicio de abstracción.
Imaginemos que reducimos la base de los rectángulos a una minúscula fracción de tiempo, una fracción infinitamente pequeña (infinitesimal) de tiempo, una milmillonesima de segundo o menos aún. Nosotros la llamaremos diferencial de tiempo o dt.
De ser asi la base del rectángulo, habría infinitos rectángulos entre las 2 y las 4 horas, y la altura de cada rectángulo sería la velocidad del automóvil en ese momento del tiempo concreto. Usando un intervalo de tiempo infinitesimal, obtendremos no una aproximación, si no el valor exacto de esas áreas, y por tanto, del espacio recorrido. Lo hariamos así:
S = V(2+dt)*dt + V(2+2*dt)*dt + V(2+3*dt)*dt ......+ V(4)dt
A esta suma de infinitos rectángulos infinitesimales se la suele escribir de la siguiente forma:
4
S = ∫2 V(t) *dt
El símbolo ∫ es el que utilizamos para las integrales. El 4 y el 2, arriba y abajo respectivamente del símbolo de la integral, indica que la suma infinita de rectangulitos se realiza entre tiempo = 2 horas y tiempo = 4 horas. En la práctica, el simbolo dt se utiliza para remarcar la variable sobre la que estamos integrando.
Para poder calcular el valor del espacio recorrido y resolver asi la integral, tendríamos que conocer que tipo de función es V(t), si no, simplemente podemos indicarlo tal como esta escrito más arriba. Asimismo, no todas las funciones son integrables igual que todas las funciones no son derivables. En esta pequeña introducción no me metere con como se calculan las integrales, pero si hablaré de un teorema muy importante que tiene en la integral a su protagonista.
El teorema fundamental del Cálculo
El teorema fundamental del cálculo nos dice, en jerga no muy purista, que:
"Sea F(x) una función continua y derivable, y sea f(x) su función derivada, entonces, si f(x) es integrable, se cumple que:
F(x) = ∫ f (x) dx "
En pocas palabras, dice que la integral de la derivada de una función es esa misma función, o lo que es lo mismo, y la idea fundamental del teorema, que la derivación y la integración son procesos inversos, como lo son el producto y la división. Esto tuvo consecuencias tremendas en los momentos en que se descubrió esta relación. Con esto quedaban resueltos los problemas del movimiento de los cuerpos para velocidades y aceleraciones que variaban con el tiempo, y a partir de ahi, se usaron como herramientas básicas en todos los campos de la física. Os dejo al final del post un video que trata de explicar el teorema fundamental del calculo y también alguna noción de la regla de Barrow, también llamada segundo teorema fundamental del cálculo.
Espero que os haya gustado, a pesar de que era una entrada dura con pocas imagenes. Aprovecho para pedir disculpas por la baja calidad de los dibujos, están hechos con la mejor intención.
Vídeo del teorema fundamental del cálculo
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